[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[1]

[1] 変数 $t$ が $0$ から $\pi$ まで動くとき，
$x=2\cos \left( t-\dfrac{\pi}{6} \right) , \quad y=\cos \left( t+\dfrac{\pi}{3} \right)$
によってあらわされる点
$(x,y)$ と原点 $(0,0)$ との間の距離の最大値，最小値およびそれらをとる $t$ の値を求めよ．

2021.10.08記

$x,y$ の位相差が $\dfrac{\pi}{2}$ であることに気付きたい．

[解答]

$T=t-\dfrac{\pi}{6}$ とおくと $-\dfrac{\pi}{6}\leqq T\leqq \dfrac{7\pi}{6}$ であり，
$x=2\cos T, \quad y=\cos\left(T+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin T$
であるから，
$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3\cos^2 T+1}$
となり，これは $-\dfrac{\pi}{6}\leqq T\leqq \dfrac{7\pi}{6}$ において，
$T=0$ ，つまり $t=\dfrac{\pi}{6}$ のとき最大値 $2$ をとり，
これは $T=\dfrac{\pi}{2}$ ，つまり $t=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき最小値 $1$ をとる．