1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.11記

[5] 図（略）のように球 $\mbox{S}$ に内接する球の列 $\mbox{S}_n$ ， $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…… がある． $\mbox{S}$ の中心 $\mbox{O}$ と $\mbox{S}_n$ の中心 $\mbox{O}_n$ はすべて同一平面上にあり， $\mbox{O}_{n+1}$ は $\mbox{S}_n$ の表面上にあって，この平面上において $\mbox{O}_{n+2}$ と $\mbox{O}_n$ は直線 $\mbox{OO}_{n+1}$ に関して互いに反対側にある．また $\mbox{S}$ の半径は $a$ ， $\mbox{S}_n$ の半径は $\mbox{S}_n$ の半径は $\dfrac{a}{2^n}$ である．このとき，

(i) $\mbox{S}_n$ と $\mbox{S}_{n+1}$ の共通部分の体積 $v_n$ を求めよ．

(ii) $m=1$ ， $2$ ， $3$ ，…に対して， $\displaystyle V_m=\sum_{n=1}^{m} v_n$ とおくとき， $V=\displaystyle\lim_{m\to\infty}V_m$ を求めよ．

2023.08.12記

[解答]
(i) 一般に $\mbox{O}_n$ と $\mbox{O}_{n+1}$ の両者の中心を通る平面による切り口は次図のようになる．ここで $r=\dfrac{a}{2^{n}}$ である．

よって，共通部分の体積は
$\dfrac{2}{3}\pi r^3$ $-\pi\displaystyle\int_0^{r/4} \{(r^2-x^2)-(4rx-x^2)\}dx$ $=\dfrac{2}{3}\pi r^3 -\pi\Bigl[r^2x-2rx^2\Bigr]_0^{r/4}$ $=\dfrac{2}{3}\pi r^3 -\dfrac{1}{8}\pi r^3$ $=\dfrac{13}{24}\pi r^3$ $=\dfrac{13}{24}\pi \dfrac{a^3}{2^{3n}}$ $=\dfrac{13 a^3\pi}{3\cdot 2^{3n+3}}$

(ii) 数列 $\{v_n\}$ は，初項 $\dfrac{13 a^3\pi}{3\cdot 2^{9}}$ ，公比 $\dfrac{1}{8}$ の等比数列だから，
$V=\dfrac{13 a^3\pi}{3\cdot 2^{9}}\cdot\dfrac{8}{7}$ $＝\dfrac{13 a^3\pi}{21\cdot 2^{6}}$ $＝\dfrac{13 a^3\pi}{1344}$
である．