[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1986-01-13

1986年(昭和61年)東京大学-数学(文科)[2]

2023.08.29記

[2] 四点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を頂点とする四面体 $\mbox{T}$ において，各辺の長さが $\mbox{AB}=x, \quad \mbox{AC}=\mbox{AD}=\mbox{BC}=\mbox{BD}=5, \quad \mbox{CD}=4$
であるとき， $\mbox{T}$ の体積 $V$ を求めよ．またこのような四面体が存在するような $x$ の範囲を求めよ．またこの範囲で $x$ を動かしたときの体積 $V$ の最大値を求めよ．

2020.12.15記

[解答]
$\rm CD$ の中点を $\rm M$ とすると， $\rm AM=BM=\sqrt{21}$ となる．3角形 $\rm MAB$ の3辺は $\sqrt{21},\sqrt{21},x$ だから，3角形の成立条件から $0\lt x\lt 2\sqrt{21}$ となる．

体積は $\dfrac{1}{3}\triangle \rm MAB \times CD$ が最大となるのは， $\triangle \rm MAB$ の面積が最大となるときで， $\angle \rm AMB=90^{\circ}$ のときである．その体積は
体積は $\dfrac{1}{6}\times \sqrt{21}\times\sqrt{21}\times 4=14$