1990年(平成2年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.04記

[6] 一つのサイコロを続けて投げて，最初の $n$ 回に出た目の数をその順序のまま小数点以下に並べてできる実数を $a_n$ とおく．たとえば，出た目の数が $5$ ， $2$ ， $6$ ，… であれば， $a_1=0.5$ ， $a_2=0.52$ ， $a_3=0.526$ ，… である．実数 $\alpha$ に対して $a_n\leqq\alpha$ となる確率を $p_n(\alpha)$ とおく．

(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n \left( \dfrac{41}{333} \right)$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n(\alpha)=\dfrac{1}{2}$ となるのは $\alpha$ がどのような範囲にあるときか．

2021.01.30記
6進法．
十進法の $1=0.\dot{9}$ は6進法では $1=0.\dot{5}$ ．

[うまい解答]
(1) $\dfrac{41}{333}=0.\dot{1}2\dot{3}$ であるから，サイコロの目を0〜5とすると， $0.\dot{0}1\dot{2}$ 以下となる確率である．さいころを振ることにより， $0\sim 1$ の一様乱数が得られるので，求める確率は $0.\dot{0}1\dot{2}_{(6)}=\dfrac{8}{215}$

(2) 十進法の $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}$ を6進法の小数に直すと $0.3_{(6)}=0.3\dot{0}_{(6)}=0.2\dot{5}_{(6)}$ であるから，
サイコロの目が0〜5の場合は $0.2\dot{5}$ 以上 $0.3\dot{0}$ となれば良く，サイコロの目が1〜6の場合は $0.3\dot{6}$ 以上 $0.4\dot{1}$ となれば良い．この6進小数を10進法だと思うことにより　 $0.3\dot{6}_{(10)}\leqq \alpha \leqq 0.4\dot{1}_{(10)}$ となる．十進法の分数に直して $\dfrac{11}{30}\leqq\alpha\leqq\dfrac{37}{90}$

(1) $\dfrac{41}{333}=0.\dot{1}2\dot{3}$ である．

ちょうど $n$ 回目に条件をみたさなくなる確率を $q_n\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)$ とすると，
$n=3k+1$ のとき、1,2,3 とくりかえして 2以上が出たときだから $q_n\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)=\dfrac{5}{6^{3k+1}}$ ，
$n=3k+2$ のとき、1,2,3 とくりかえして 3以上が出たときだから $q_n\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)=\dfrac{4}{6^{3k+2}}$ ，
$n=3k+3$ のとき、1,2,3 とくりかえして 4以上が出たときだから $q_n\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)=\dfrac{3}{6^{3k+3}}$
となる，ということを一般化する．

[解答]
$\alpha$ の小数第 $n$ 位の数字を $d_n$ （ $1\leqq d_n\leqq 6$ ）とする．このとき，ちょうど $n$ 回目に条件をみたさなくなる確率を $q_n(\alpha)$ とすると， $q_n(\alpha)=\dfrac{6-d_n}{6^n}$ であり， $Q(\alpha)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n q_k(\alpha)$ ， $p(\alpha)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n(\alpha)$ とすると， $p(\alpha)=1-Q(\alpha)$ が成立する．

(1) $\dfrac{41}{333}=0.\dot{1}2\dot{3}$ であるから $Q\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)=\dfrac{5}{6}+\dfrac{4}{6^2}+\dfrac{3}{6^3}+\dfrac{5}{6^4}+\dfrac{4}{6^5}+\dfrac{3}{6^6}+\cdots$ となり， $(6^3-1)Q\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)$ $=6^3\Bigl(\dfrac{5}{6}+\dfrac{4}{6^2}+\dfrac{3}{6^3}\Bigr)$ $=207$ から $Q\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)=\dfrac{207}{215}$ となり， $p\Bigl(\dfrac{41}{333}\Bigr)=\dfrac{8}{215}$ となる．

(2) $p(\alpha)$ は $\alpha$ に関して単調非減少だから， $Q(\alpha)$ は $\alpha$ に関して単調非増加である．

$Q(\alpha)=\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{0}{6^2}+\dfrac{0}{6^3}+\dfrac{0}{6^3}+\cdots$ $=\dfrac{2}{6}+\dfrac{5}{6^2}+\dfrac{5}{6^3}+\dfrac{5}{6^3}+\cdots$ である．

よって，「(i) $d_1=3$ ， $d_n=6$ （ $n\geqq 2$ ）」または「(ii) $d_1=4$ ， $d_n=1$ （ $n\geqq 2$ ）」であり，(i) のとき $\alpha=0.3\dot{6}=\dfrac{11}{30}$ ，(ii) のとき $\alpha=0.4\dot{1}=\dfrac{37}{90}$ であるから， $\dfrac{11}{30}\leqq\alpha\leqq\dfrac{37}{90}$ において $p(\alpha)=\dfrac{1}{2}$ となる．

$\dfrac{1}{2}$ を6進小数で表現する方法は2通りあり， $0.2\dot{5}=0.3$ となるが，この等しい6進小数を、十進小数だと思った場合， $0.2\dot{5}<0.3$ となる．十進小数の表記が $0.2\dot{5}\lt x\lt 0.3$ となる $x$ に対応する6進小数は存在しないので，6進法で考えていたときは1つの数だったものが，十進法で考えると区間になってしまうという訳である．