[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1990年(平成2年)東京大学前期-数学(理科)[1]

2024.01.04記

[1] a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}，b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}とするとき，\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n，\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}を求めよ．

2021.01.30記

[解答]
\displaystyle a_n\gt \int_1^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{n+1}-2\to+\infty（n\to\infty）
であり
\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\lt b_n\lt \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}
より
\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigl( a_n - 1 +\dfrac{1}{{n+1}}\Bigr) \lt b_n \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}a_n
だから
\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{ n}{\sqrt{2}(n+1)a_n} \lt \dfrac{b_n}{a_n} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}
となるので，
\dfrac{b_n}{a_n}\to\dfrac{1}{\sqrt{2}}（\to\infty）