1970年(昭和45年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.24記

[1] 次の文を読んで後の設問に答えよ．

$k$ を $2$ から $10$ までの任意の整数とするとき，正の整数はすべて
$a_n \times k^n + … + a_1 \times k + a_0$
のように書くことができる．ただし， $a_0$ ， $a_1$ ，…， $a_n$ を $0$ から $k-1$ までの整数とする．したがって，上の式で書かれる数を
$a_n … a_1 a_0$
のように，数字 $a_0$ ， $a_1$ ，…， $a_n$ の単なる配列で表わすことができる．10進法というのは， $k$ を $10$ にとったときのことであるが， $k$ を $2$ にとればこれは2進法といわれる記数法になる．

設問

(1) $10$ 進法で $365$ と書かれる数を $2$ 進法で書けばどうなるか．

(2) $2$ 進法で $101101$ と書かれる数と $1011$ と書かれる数との積は $2$ 進法でどのように書かれるか．

(3) 正の整数 $x$ が $2$ 進法で書かれているとき，それを右から $3$ 行ずつ区切っていき， $2$ 進法で各区切りの表わす数 $y_0$ ， $y_1$ ， $…$ ， $y_m$ を考える．もしこれらの和 $y_m+… +y_1+y_0$ が $7$ で割りきれるならば， $x$ も $7$ で割りきれることを証明せよ．

[2] 二点 $\mbox{A}(0，1)$ ， $\mbox{B}(0，11)$ が与えられている．いま $x$ 軸上の正の部分に点 $\mbox{P}(x，0)$ をとって $\angle\mbox{APB}$ の大きさを $30^{\circ}$ 以上にしたい． $x$ をどのような範囲にとればよいか．

[3] $25\mbox{m}$ 隔てて二地点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ がある．いま $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ 二人がそれぞれ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ に立ち，同時に向いあって走り出す．走り出してから $t$ 秒後の $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の速度を， $\mbox{P}$ から $\mbox{Q}$ に向う方向を正の向きとしてそれぞれ $u\,\mbox{m}/秒$ ， $v\,\mbox{m}/秒$ とすれば， $u$ は一定で $v=\dfrac{3}{4}t^2-3t$ である．
このとき， $\mbox{B}$ が $\mbox{Q}$ にかえるまでに $\mbox{A}$ が $\mbox{B}$ に出あうかまたは追いつくためには， $u$ が少なくともどれほどの大きさでなければならないか．