1994年(平成6年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.10記

[4] $0\lt c\lt 1$ とする．3次関数 $f(x)=-4x^3+3x^2$ に対し，
$f_1(x)=f(x)+\displaystyle\int_{0}^{c} f(t)\,dt$ ，
$f_2(x)=f(x)+\displaystyle\int_{0}^{c} f_1(t)\,dt$
とおく．以下，関数 $f_3(x)$ ， $f_4(x)$ ，…を順次
$f_n(x)=f(x)+\displaystyle\int_{0}^{c} f_{n-1}(t)\,dt$ （ $n=3$ ， $4$ ，…）
により定める．

(1) 関数 $f_n(x)$ を求めよ．

(2) $f_n(x)$ について， $0\lt x\lt 1$ のとき， $f_n(x)=0$ を満たす $x$ がただひとつ存在することを示せ．

2024.01.13記

[解答]
(1) $\displaystyle\int_{0}^{c} f(t)\,dt=-c^4+c^3$ を $g_0$ とおき，
$g_n=\displaystyle\int_{0}^{c} f_n(t)\,dt$ （ $n=1，2，…$ ）
とおくと
$g_n=g_0+c g_{n-1}$ （ $n=1，2，…$ ）
が成立するので
$g_n-\dfrac{g_0}{1-c}=c^n\left(g_0-\dfrac{g_0}{1-c}\right)$ $=-c^{n+1}\cdot \dfrac{g_0}{1-c}$ ，
つまり
$g_n=(1-c^{n+1}) \cdot \dfrac{g_0}{1-c}$
が成立する．ここで $\dfrac{g_0}{1-c}=c^3$ であるから，
$g_{n-1}=c^3(1-c^{n})$
となり，
$f_n(x)=f(x)+g_{n-1}=-4x^3+3x^2+c^3(1-c^{n})$
となる．

(2) $0\lt c\lt 1$ により $0\lt c^3(1-c^n)\lt 1$ であるから，
$f_n(0)=c^3(1-c^n)\gt 0$ ， $f_n(1)=c^3(1-c^n)-1\lt 0$
である．また
$f'_n(x)=-12x\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ ，
より $f_n(x)$ の増減表は次のようになる．

$x$	$(0)$	$\cdots$	$1/2$	$\cdots$	$(1)$
$f'_n$		$+$	$0$	$-$
$f_n$	正	$\nearrow$	極大	$\searrow$	負

よって， $0\lt x\lt 1$ のとき， $f_n(x)=0$ を満たす $x$ がただひとつ存在する．