2004年(平成16年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[2] 自然数の $2$ 乗になる数を平方数という．以下の問いに答えよ．

(1) $10$ 進法で表して $3$ 桁以上の平方数に対し， $10$ の位の数を $a$ ， $1$ の位の数を $b$ とおいたとき， $a+b$ が偶数となるならば， $b$ は $0$ または $4$ であることを示せ．

(2) $10$ 進法で表して $5$ 桁以上の平方数に対し， $1000$ の位の数， $100$ の位の数， $10$ の位の数，および $1$ の位の数の $4$ つすべてが同じ数となるならば，その平方数は $10000$ で割り切れることを示せ．

2021.01.28記

[解答]
(1) $n=10p+q$ とすると $n^2=100p^2+20pq+q^2$ だから
$b$ は $q^2$ の一の位，
$a$ は $2pq$ と $q^2$ の十の位の和を10で割った余り
である．よって $a+b$ が偶数のとき， $q^2$ の一の位と十の位の偶奇は等しい．
このとき， $q^2=0，4，64$ だから， $b=0，4$

(2) (1)により，その平方数の下4桁は $0000，4444$ のいずれかであるから，平方数の下4桁が $4444$ にならないことを示せば良い．

平方数の下4桁が $4444$ のとき， $10000N+4444$ と書けるが，偶数の平方数を4で割っても平方数となるので， $(25N+11)\times 100+11$ も平方数でなければならない．しかしこれは(1)に矛盾するので下4桁が $4444$ の平方数は存在しない．よって下4桁が等しい平方数はその下4桁は $0000$ となり， $10000$ で割り切れる．