2020年(令和2年)京都大学数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

正の整数 $a$ に対して， $a=3^bc$ ( $b$ ， $c$ は整数で $c$ は 3 で割り切れない )
の形に書いたとき， $B(a)=b$ と定める．例えば， $B(3^2\cdot5)=2$ である．

$m, \, n$ は整数で，次の条件を満たすとする．

(i) $1 \leqq m \leqq 30$ ．
(ii) $1 \leqq n \leqq 30$ ．
(iii) $n$ は3で割り切れない．

このような $(m, \, n)$ について $f(m, \, n)=m^3+n^2+n+3$ とするとき，
$A(m, \, n)=B(f(m, \, n))$
の最大値を求めよ．また， $A(m, \, n)$ の最大値を与えるような $(m, \, n)$ をすべて求めよ．

2020.03.02記

面倒だ．
$f(m,n)=m^3+n(n+1)+3$ が3でなるべく割り切れるような $m,n$ を探す．

[解答]

(a) $n=3k-2（k=1,2,...,10）$ のとき， $n(n+1)+3=(3k-2)(3k-1)+3=9k^2-9k+5$ であるから $m=3l-1,3l$ のときは $A(m,n)=0$ である．

$m=3l-2$ のとき， $f(m,n)=27l^3-54l^2+36l+9k^2-9k+6\equiv 2(\mbox{mod}\, 3)$ より $A(m,n)=1$ である．

(b) $n=3k-1（k=1,2,...,10）$ のとき， $n(n+1)+3=(3k-1)\cdot 3k+3=9k^2-3(k-1)$ は3の倍数である．このとき， $f(m,n)$ が3で割れるためには $m$ が3の倍数でなければならず，このとき $m^3$ は 27 の倍数となる．

そして $n(n+1)+3=(3k-1)\cdot 3k+3=9k^2-3(k-1)$ が9の倍数となるには、 $k=3s+1（s=0,1,2,3）$ の形でなければならず，このとき
$n(n+1)+3=9(9s+5s+1)$ である．これが27の倍数となるのは $s=2$ のときのみである．

よって $A(m,n)\geq 3$ となるためには $s=2$ ，つまり $n=11$ でなければならず，このとき $f(m,n)=m^3+135$ となる．

$m=3t（t=1,2,...,10）$ とおくと $f(m,n)=27(t^3+5)$ となるので，これが81の倍数となるには $t$ を3で割った余りが1となることが必要十分である．よって $t=3u+1（u=0,1,2,3）$ とおくと $f(m,n)=81(9u^3+9u^2+3u+2)$ となるが，これが243の倍数になることはない．

よって $m=9u+3（u=0,1,2,3）$ ， $n=11$ ，つまり $(m,n)=(3,11)，(12,11)，(21,11)，(30,11)$ のとき $A(m,n)$ は最大値 $4$ をとる．