[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2020年(令和2年)京都大学数学(文系)[1]

$a$ を負の実数とする． $xy$ 平面上で曲線 $C:y=|x|x-3x+1$ と直線 $l:y=x+a$ のグラフが接するときの $a$ の値を求めよ．このとき， $C$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

2020.03.04記

[解答]

$y=f(x)=x^2-3x+1$ ， $y=g(x)=-x^2-3x+1$ とする．

$f(x)-x-a=(x-2)^2$ となるのは $a=5$ のときだが，これは $a \lt 0$ に反する．

$g(x)-x-a=-(x+2)^2$ となるのは $a=-3$ のときで，これは $a \lt 0$ をみたす．

よって $a=-3$ である．

交点を求めて真面目に積分すると
$\displaystyle\int_{-2-2\sqrt{2}}^0 \{ -(x+2)^2+8\}dx+\int_0^2(x-2)^2dx$ $=\displaystyle\left[-\dfrac{1}{3}(x+2)^3+8x\right]_{-2-2\sqrt{2}}^0+\dfrac{8}{3}$ $=\dfrac{48+32\sqrt{2}}{3}$