2019年(平成31年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2019.02.26記

[4] $n$ を1以上の整数とする．

(1) $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数 $d_n$ を求めよ．

(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならないことを示せ．

2019.02.26記

[解答]
(1) ユークリッドの互除法により $n^2+1$ と $4$ の最大公約数が $d_n$ であり， $n$ が奇数のときは $d_n=2$ ， $n$ が偶数のときは $d_n=1$ となる．

(2) $n$ が偶数のときは $d_n=1$ だから $n^2+1$ と $5n^2+9$ の両方が平方数でないといけないが $n^2+1$ は平方数ではない．

$n$ が奇数のときは $d_n=2$ だから $n^2+1$ と $5n^2+9$ の両方が平方数の2倍でないといけない．このとき $n=2m-1$ とおくと $\dfrac{5n^2+9}{2}=10m(m-1)+7$ という奇数が平方数でないといけないが，奇数の平方数を4で割った余りは1でなければならないので，これが平方数になることはない．

以上から $(n^2+1)(5n^2+9)$ が平方数になることはない．

河合塾、代々木ゼミナールの、
$n$ が奇数のときは $d_n=2$ だから、 $n^2+1=2p^2,5n^2+9=2q^2$ と両方が平方数の2倍でないといけないことと、
$(5n^2+9)-(n^2+1)=4(n^2+2)=2(p+q)(p-q)$ で、左辺は2で丁度2回割り切れ、右辺は2で1回、または3回以上割り切れることから矛盾を導くのは、へぇー、っと思った。

上では $5n^2+9$ が平方数の2倍とならないことを mod 4 で矛盾を導いたが、河合塾の別解は mod 5 で矛盾を導いていた。

「互いに素は2つの数の積が平方数なら、両方が平方数」ということを念の為に証明している予備校も多かったが、証明しなければいけないのかな？と少し思った。
(採点基準は、一般に非採点に依存するので今回どうだったかはわからない)