1915年(大正4年)東京帝國大學工科大學-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] A circular cylindrical tank with flat ends and made of steel plates of uniform thickness throughout is to be constructed in such a way that its weight should be a minimum for a given volume. Find the ratio of its diameter to length.

2020.03.04記

[3] 平らな端部を持ち、全体が均一な厚さの鋼板で作られた円筒形のタンクは、与えられた体積に対してその重量が最小になるように作られます。直径と長さの比率を求めなさい。

2020.03.04記

[解答]
内側の半径を $r$ 、高さを $h$ とし、厚さを $d$ とする。鋼板の比重は1として良い。

このとき、タンクの重量は
$W=\pi(r+d)^2(h+2d)-\pi r^2 h$
となる。

ここで $V=\pi r^2 h$ 及び $d$ が一定であるとき $W$ が最小となる $r$ を求めれば良い。
$\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{dV}{dr}=2rh+r^2\dfrac{dh}{dr}=0$ から $\dfrac{dh}{dr}=-\dfrac{2h}{r}$ だから
$\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{dW}{dr}=2(r+d)(h+2d)+(r+d)^2\dfrac{dh}{dr}=2d(r+d)\left(2-\dfrac{h}{r}\right)$
となる。 $r$ が増加すると $h$ は減少するので、 $\dfrac{h}{r}$ は $r$ について単調減少する。
よって $\dfrac{h}{r}=2$ となる $r$ の前後で $\dfrac{dW}{dr}$ は負から正となり極小値となる。

よって、高さが半径の2倍、つまりタンク内部の高さと直径が等しくなるように作れば良い。