[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1948年(昭和23年)東京大学理学部-数学[3]

[3] 次の定積分の値を求めよ．
\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}

2020.04.01記
素直に t^6 = x と置換する

[解答]
t^6 = x と置換すると、 6t^5 dt = dx であり、
\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} =\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{6t^5 dt}{t^3+t^2} =\displaystyle 6\int_{0}^{1}\dfrac{t^3 dt}{t+1} =\displaystyle 6\int_{0}^{1}\dfrac{(t+1-1)^3 dt}{t+1} =\displaystyle 6\int_{0}^{1}\left\{ (t+1)^2-3(t+1)+3-\dfrac{1}{t+1} \right\} dt =\displaystyle 6\int_{0}^{1}\left(t^2 -t+1-\dfrac{1}{t+1} \right\} dt =\Bigl[ 2t^3-3t^2+6t-6\log(t+1)\Bigr]_{0}^{1} =5-6\log 2

なお、不定積分は
2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-\log(\sqrt[6]{x}+1)（積分定数省略）