1958年(昭和33年)東京大学-数学(解析Ｉ) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.18記

[1] $x$ に関する方程式 $x^2+2(1-\cos\alpha^{\circ})x+(1-\sin\alpha^{\circ})^2=0$ が実根をもつとき， $x$ に関する方程式
$x^2-2x+\cos(\alpha^{\circ}+45^{\circ})+1=0$
は実根をもつか虚根をもつかしらべよ．

[2] 変量 $y$ が変量 $x$ に正比例することは理論的にわかっているが，比例定数 $a$ の値がわからない．そこで， $x=2$ ， $3$ ， $4$ のときの $y$ の値を測ったところ，それぞれ $3.1$ ， $4.4$ ， $5.6$ という測定値を得た． $a$ の値をかりに定めたとき $3.1-2a$ ， $4.4-3a$ ， $5.6-4a$
をそれぞれ $x=2$ ， $3$ ， $4$ に対応する $y$ の測定の誤差とみなす．このとき，

(i) 誤差の二乗の和が最小となるように $a$ の値を定めよ．

(ii) 誤差の絶対値の和が最小となるように $a$ の値を定めよ．

ただし，小数第三位を四捨五入して小数第二位まで求めよ．

[3] 一平面上の二点 $P(x,y)$ 、 $Q(X,Y)$ の座標の間に， $X=\dfrac{x}{x^2+y^2}，Y=-\dfrac{y}{x^2+y^2}$ という関係がある．
このとき，点 $P(x,y)$ が，不等式
$(4x+3y-5)(4x-3y+5)\gt0$
で表わされる範囲を動くとき，点 $Q(X,Y)$ はどのような範囲を動くか． $P$ の動く範囲および $Q$ の動く範囲に斜線を引いて，これらを示せ．

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