1966年(昭和41年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[1] ある鉄道の旅客運賃計算規則は下記のとおりであり，それによると，距離が319 km，349 kmのとき，運賃は，それぞれ970円，1010円となる．下記の文中の $a，b$ にあてはまる数を求めよ．ただし $a，b$ はともに0.1の整数倍である．

旅客運賃は，距離が300 km以下の分に対しては1 kmにつき $a$ 円，300 kmを超過した分に対しては1 kmにつき $b$ 円として計算し，その結果において，10円未満の端数（はすう）は10円に切り上げるものとする．

[2] 平面上のある直線 $l$ の上の任意の点 $(x,y)$ に対し，点 $(4x+2y，x+3y)$ がふたたび $l$ の上にあるという．このような直線 $l$ をすべて求めよ．

[3] 平面上に点列
${\rm P}_0，{\rm P}_1，{\rm P}_2，\cdots，{\rm P}_n，\cdots，$
があり， ${\rm P}_0$ ， ${\rm P}_1$ の座標はそれぞれ $(0，0)，(1，0)$ である．また，任意の自然数 $n$ に対し，線分 ${\rm P}_n{\rm P}_{n+1}$ の長さは ${\rm P}_{n-1} {\rm P}_n$ の長さの $2$ 倍で，半直線 ${\rm P}_n{\rm P}_{n+1}$ が半直線 ${\rm P}_{n-1} {\rm P}_n$ となす角は120°である． ${\rm P}_{3n}$ の座標を求めよ．

[図]

[4] $x$ に関する方程式 $\dfrac{x}{9}-\sin\dfrac{\pi x}{6}=0$ の最大の根に，もっとも近い整数を求めよ．

[5](新課程) 半直線 $\rm OX$ が，点 $\rm O$ のまわりを毎秒1ラジアンの角速度で回転している． $\rm OX$ 上を運動する点 $\rm P$ が，時刻 $t$ 秒において，点 $\rm O$ から $e^{2t}\mbox{cm}$ の距離にあるという．時刻 $0$ 秒から $2\pi$ 秒までの間に，点 $\rm P$ の動く道のりを求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．