2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[5] さいころを $n$ 回振り，第 $1$ 回目から第 $n$ 回目までに出たさいころの目の数 $n$ 個の積を $X_n$ とする．

(1) $X_n$ が $5$ で割り切れる確率を求めよ．

(2) $X_n$ が $4$ で割り切れる確率を求めよ．

(3) $X_n$ が $20$ で割り切れる確率を $p_n$ とおく． $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\log(1-p_n)$ を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

2021.01.19記
5で割り切れることと20で割り切れることは独立ではありません．

[解答]
(1) 少くとも1回5が出る確率 $1-\Bigl(\dfrac{5}{6}\Bigr)^n$

(2) 4で割り切れない確率は，4が1回も出ず，2，6が一回以下しかでない確率だから
$\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^n+n\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2n+3}{3\cdot 2^n}$
となる．よって求める確率は
$1-\dfrac{2n+3}{3\cdot 2^n}$

(3) 5でも4でも割り切れない確率は，全て1か3，または1回だけ2か6が出て良い確率だから，
$\Bigl(\dfrac{1}{3}\Bigr)^n+n\Bigl(\dfrac{1}{3}\Bigr)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{n+1}{3^n}$
となる．よって20で割り切ない確率 $1-p_n$ は
$1-p_n=\Bigl(\dfrac{5}{6}\Bigr)^n+\dfrac{2n+3}{3\cdot 2^n}-\dfrac{n+1}{3^n}$
だから
$\dfrac{1}{n}\log(1-p_n)$ $=\log\dfrac{5}{6}[tex:+\dfrac{1}{n}\log\dfrac{\Bigl(\dfrac{5}{6}\Bigr)^n+\dfrac{2n+3}{3\cdot 2^n}-\dfrac{n+1}{3^n}}{\Bigl(\dfrac{5}{6}\Bigr)^n}$ $\to\log\dfrac{5}{6}$