2022年(令和4年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[6] $\rm O$ を原点とする座標平面上で考える。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して，ベクトル $\vec{v_k}$ を
$\vec{v_k}=\left(\cos\dfrac{2k\pi}{3},\sin\dfrac{2k\pi}{3}\right)$
と定める。投げたとき表と裏がどちらも $\dfrac{1}{2}$ の確率で出るコインを $N$ 回投げて，座標平面上に点 ${\rm X}_{0}$ ， ${\rm X}_{1}$ ， ${\rm X}_{2}$ ，……， ${\rm X}_{N}$ を以下の規則 (i),(ii) に従って定める。

(i) ${\rm X}_{0}$ は ${\rm O}$ にある。

(ii) $n$ を $1$ 以上 $N$ 以下の整数とする。 ${\rm X}_{n-1}$ が定まったとし， ${\rm X}_{n}$ を次のように定める。

・ $n$ 回目のコイン投げで表が出た場合，
$\vec{{\rm OX}_n}=\vec{{\rm OX}_{n-1}}+\vec{v_k}$
により ${\rm X}_n$ を定める。ただし， $k$ は1回目から $n$ 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。

・ $n$ 回目のコイン投げで裏が出た場合， ${\rm X}_n$ を ${\rm X}_{n-1}$ と定める。

(1) $N = 8$ とする。 ${\rm X}_8$ が $\rm O$ にある確率を求めよ。

(2) $N = 200$ とする。 ${\rm X}_{200}$ が $\rm O$ にあり，かつ，合計200回のコイン投げで表がちょうど $r$ 回出る確率を $p_r$ とおく。ただし $0\leqq r\leqq 200$ である。 $p_r$ を求めよ。また $p_r$ が最大となる $r$ の値を求めよ。

2022.02.26記

(1) 表が0回のときは1通り

表が6回のときは，「表表裏表表裏表表」の1通り

表が3回のときは，
「表裏表裏表」と裏3つの並べ換えで4通り，
「表裏裏表裏裏表」と裏1つの並べ換えで2通り，
「表裏裏裏裏表裏表」の1通り
「表裏表裏裏裏裏表」の1通り
の合計8通り

以上を合計して10通りだから， $\dfrac{10}{256}=\dfrac{5}{128}$

のように真面目に計算したら(2)はうまくいかないので、何かうまい方法があるはず。だけど、時間内には思いつかなかった。とほほ。

ちょっと方針が思いつかないので、一旦寝てから考える。

とりあえず，表3回の場合をもう少し考えてみよう。

「表裏表裏表」に裏3つを加えるときに、上のように $4+2+1+1$ で計算したが，これをもう少し規則的に考えられないだろうか？

「[表裏]裏[表裏]裏[表]裏」
「裏[表裏]裏[表裏]裏[表]」
「裏[表裏][表裏][表]裏裏」
「裏裏[表裏][表裏][表]裏」
「裏裏裏[表裏][表裏][表]」
「[表裏]裏裏裏[表裏][表]」
「[表裏][表裏]裏裏裏[表]」
「[表裏][表裏][表]裏裏裏」

あっ、そうか。この考え方は良くない。簡単に解けるのだったら、もう少し単純に考えるべきで、
裏5つのどこに表を挿入するかで考えれば良い。それまでに裏が何回でているかを書くと

「0裏裏2裏裏4裏]
「裏1裏裏3裏裏5]
「裏1裏2裏3裏裏]
「裏裏2裏3裏4裏]
「裏裏裏3裏4裏5]
「0裏裏裏裏4裏5]
「0裏1裏裏裏5裏]
「0裏1裏2裏裏裏]

のようになって、表が出たときに裏が何回でていたかの累計が正の3の倍数になっている。しかも、3で割った余りは $\{0,1,2\}$ が1つずつだ。なるほど。

[解答]

$\vec{v_0}$ 向きに進むのは裏が $3$ で割りきれる数だけ出た次に表，
$\vec{v_1}$ 向きに進むのは裏が $3$ で割った余りが1の数だけ出た次に表，
$\vec{v_2}$ 向きに進むのは裏が $3$ で割った余りが2の数だけ出た次に表

が出たときである．

また、 ${\rm X}_N={\rm O}$ となるのは $\vec{v_0}$ 向きに進んだ数と、 $\vec{v_1}$ 向きに進んだ数と、 $\vec{v_2}$ 向きに進んだ数の全てが等しいときである．よって表が $3$ の倍数回出るときである。

以上から， ${\rm X}_N={\rm O}$ となるのは表が $3$ の倍数回出るときであり，それを $3r$ 回とすると $0$ から $N-3r$ までの数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数が重複を許して丁度 $r$ 個ずつ選ばれるときである．

(1) 表が0回のとき：1通り

表が3回のとき：0から5までの6個の数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数は $2$ 個ずつあるので
$2^3=8$ 通り

表が3回のとき：0から2までの3個の数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数は $1$ 個ずつあるので
$1^3$ 通り

以上を合計して10通りだから， $\dfrac{10}{256}=\dfrac{5}{128}$ となる．

(2)(a) $r\equiv 1,2(\mbox{mod}\,3)$ のときは $p_r=0$

(b) $r\equiv 0(\mbox{mod}\,3)$ のとき：
$r=3q$ とおくと，0から $200-3q$ までの $201-q$ 個の数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数は $67-q$ 個ずつあるので，重複組合せから $({}_{67-q}\mbox{H}_q)^3=({}_{66}\mbox{C}_q)^3$ 通りとなる．