1940年(昭和15年)東京帝國大學工學部-數學 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.20記

（力学含めて二時間半）

[1] 楕圓體面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$
の切平面へ一點 $(\alpha,\beta,\gamma)$ より下したる垂線の趾の軋跡の方程式を求めよ．

[2] $x$ が $1$ より小さい値から $1$ に限りなく近づくとき，次の函數の採るべき極限値を求めよ．
$\dfrac{\dfrac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}}{\log\dfrac{1}{x}}$

[3] 次の積分を計算せよ．

(a) $\displaystyle\int\dfrac{3x^2-3x+2}{x^3-3x^2+x-3}dx$

(b) $\displaystyle\int\dfrac{1}{2+\cos x+\sin x}dx$

[4] 水平軸の周りに自由に廻轉し得る質量 $M$ ，半徑 $a$ の滑車（一樣な圓板）がある．この滑車に糸を捲きつけてその端に質量 $m$ の物體を吊し，バネで廻轉を止めてある．バネは滑車の面に沿うて水平に張られ，一端は固定され，他端は軸より上方 $r$ の點で滑車に固定されてゐる．吊された物體を極く僅か下方に引き下げて放したときの物體の振動の週期を求めよ．但し糸及びバネの質量は無視する．尚 $M=30$ kg， $a=30$ cm， $m=5$ kg， $r=20$ cm，バネは $4$ kgの力を加へると $1$ cm 伸びるものとして週期を有效數字2桁迄計算せよ．