[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2020年(令和2年)京都大学数学(理系)[2]

$p$ を正の整数とする． $\alpha, \, \beta$ は $x$ に関する方程式 $x^2-2px-1=0$ の2つの解で， $|\alpha| > 1$ であるとする．

(1)すべての正の整数 $n$ に対し， $\alpha^n+\beta^n$ は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．

(2) 極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{(-\alpha)}^n\sin(\alpha^n\pi)$ を求めよ．

2020.03.02記

[解答]
(1) $a_n=\alpha^n+\beta^n$ とおくと、 $a_0=2,\, a_1=2p$ であり、 $a_{n+2}=2pa_{n+1}+2a_n(n=0,1,2,...)$ だから
すべての正の整数 $n$ に対して、 $a_n$ は偶数となる。

(2) $f(x)=x^2-2px-1$ とおくと、 $f(-1)=2p>0,\,f(0)=-1<0$ であるから、 $-1<\beta<0$ である。
解と係数の関係により $\alpha\beta=-1$ であるから、 $\alpha^n+\beta^n$ が偶数に注意すると
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin(\alpha^n\pi) =\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin(-\beta^n\pi)}{\beta^n}=\lim_{n\to\infty}-\pi\cdot\dfrac{\sin(\beta^n\pi)}{\beta^n\pi}=-\pi$