1942年(昭和17年)東京帝國大學(秋入学)醫學部-數學[1]

曲線 $\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}}=1$ ノ全長ヲ求メヨ．

2020.03.17記

[解答]
$a\neq 0,\, b\neq 0$ として良い。

全長を $l$ とする。第1象限の長さを4倍すれば良く、曲線のパラメータ表示が $x=a\cos^3\theta, \, y=b\sin^3\theta$ であるから、
$l=4\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{d\theta} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$
$=4\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sqrt{9a^2\cos^4\theta\sin^2\theta+9b^2\cos^2\theta\sin^4\theta}\,d\theta$
$=4\displaystyle \int_0^{\pi/2} 3\sin\theta\cos\theta \sqrt{a^2\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}+b^2\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}}\,d\theta$
$=3\sqrt{2}\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin 2\theta \sqrt{a^2+b^2+(a^2-b^2)\cos 2\theta}\,d\theta$
となる。ここで $u=\cos 2\theta$ とおくと $du=-2\sin 2\theta d\theta$ であるから、
$l=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{a^2+b^2+(a^2-b^2)u}\,du$
となる。

(i) $|a|=|b|$ のとき、 $l=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{2a^2}\,du=6|a|$

(ii) $|a|\neq |b|$ のとき、 $s=\sqrt{a^2+b^2+(a^2-b^2)u}$ とおくと
$2sds=(a^2-b^2)du$ であるから、
$l=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\displaystyle \int_{\sqrt{2}|b|}^{\sqrt{2}|a|} \dfrac{2}{a^2-b^2} s^2 \,ds$ $=\dfrac{4(|a|^3-|b|^3)}{a^2-b^2} =\dfrac{4(a^2+|ab|+b^2)}{|a|+|b|}$
これは $|a|=|b|$ のときも含んでいる。