1952年(昭和28年)東京大学-数学(解析Ｉ)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 二次方程式
$ax^2+(1-5a)x+6a=0,\,a\neq 0$
の根が二つとも1より大きい実根となるのは実数がどんな範囲にあるときか。

2024.09.23記
$X=x-1$ とおくと，根が二つとも正の実根という条件（和と積が正で判別式が非負）となり考え易い．

[解答]
$X=x-1$ とおくと
$aX^2+(1-3a)X+2a+1=0$
の2解が正となれば良いので
$-\dfrac{1-3a}{a}\gt 0$ ， $\dfrac{2a+1}{a}\gt 0$ ， $(1-3a)^2-4a(2a+1)\geqq 0$ ，
つまり
$a\lt 0，\dfrac{1}{3}\lt a$ かつ $a\lt -\dfrac{1}{2}，0\lt a$ かつ $a\leqq 5-2\sqrt{6}，5+2\sqrt{6}\leqq a$
となる．
$-\dfrac{1}{2}\lt 0\lt 5-2\sqrt{6}\lt\dfrac{1}{3} \lt 5+2\sqrt{6}$
に注意して整理すると
$a\lt -\dfrac{1}{2}，5+2\sqrt{6}\leqq a$
となる．

[別解]
$(x-2)(x-3)=-\dfrac{1}{a}x$
であるから， $y=x^2-5x+6$ と $y=-\dfrac{1}{a}x$ の2交点（または接点）がともに $x\gt 1$ の範囲にある条件を求めれば良く，接するのは $a=5\pm 2\sqrt{6}$ で， $x=1$ で交わるのが $a=-\dfrac{1}{2}$ であることに注意して $a$ の値を変化させながら $y=x^2-5x+6$ と $y=-\dfrac{1}{a}x$ の交点を追跡することにより，
$a\lt -\dfrac{1}{2}，5+2\sqrt{6}\leqq a$
となる．

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ と因数分解できるけど，使わなかった．