[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1954-01-04

1954年(昭和29年)東京大学-数学(解析Ｉ)[3]

[3] $a$ ， $b$ は正の數で $\log ax \log bx+1=0$ を満足する正の数 $x$ があるとき， $\dfrac{b}{a}$ はどのような範囲にあるか，ただし $\log$ は常用対数を表わすものとする．

2020.09.24記

[3] $x\gt 0$ のとき、 $\log x$ は全実数をとる．

$(\log x)^2+(\log a+\log b)\log x + \log a \log b+ 1 = 0$ が実数解をもつ条件は判別式
$(\log a+\log b)^2-4(\log a\log b+1)$ $=\Bigl(\log\dfrac{b}{a}\Bigr)^2-4\geqq 0$
よって $\log\dfrac{b}{a}\leqq -2$ または $\log\dfrac{b}{a}\geqq 2$
つまり $0<\dfrac{b}{a}\leqq\dfrac{1}{100}$ または $\dfrac{b}{a}\geqq 100$

となる．