1952年(昭和27年)東京大学-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

4科目のうち2科目を選択せよ

【解析Ｉ】

[1] 次の函数のグラフを描け。
$f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+1}$

[2] 二次方程式
$ax^2+(1-5a)x+6a=0,\,a\neq 0$
の根が二つとも1より大きい実根となるのは実数がどんな範囲にあるときか。

[3] $\dfrac{\log a+\log b +\log c + \log d}{4}$ と $\log \dfrac{a+b+c+d}{4}$ の大小を比較せよ。ただし対数は常用対数とし， $a,\,b,\,c,\,d$ は正数とする。

【解析ＩＩ】

[1] $a_1=0, \, a_2=1,\, a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n}}{2}$ （ $n=1,\,2,\,3,\,\cdots$ ）
であるとき
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$
を求めよ。

[2] 直角座標に関して座標 $(1,\,1)$ の点が原点のまわりを正の向きに $30^{\circ}$ 回転すればその点の座標はどのようになるか。

[3] $f(x)=x^3+x^2+x+1$ であるとき， $g(x)=ax^2+2bx+c$ の係数 $a,\,b,\,c$ をどのように定めれば
$f(1)=g(1),\,f(-1)=g(-1)$
である上に $\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)-g(x)\}^2 dx$ が最小となるか。

【幾何】

[1] (i) $\angle\rm AOB$ を平面上の角， $\rm P$ をその平面上の任意の点とする。直線 $\rm OA$ に関する $\rm P$ の対称点を $\rm P'$ とし，直線 $\rm OB$ に関する $\rm P'$ の対称点を $\rm P''$ とすれば， $\rm P''$ は $\rm P$ を $\rm O$ の周りに $2\angle\rm AOB$ 回転した点と一致することを証明せよ。

(ii) $\triangle\rm ABC$ の平面上の任意の点を $\rm P$ とする。その平面上で $\rm P$ を図のように $\rm B$ のまわりに $2\angle\rm CBA$ 回転し，次に $\rm A$ のまわりに $2\angle\rm BAC$ 回転し，さらに $\rm C$ のまわりに $2\angle\rm ACB$ 回転すれば最後の位置はどこになるか。

[2] 半径 $R$ の定円の周上を，その内側にある半径 $\dfrac{R}{2}$ の円がすべらずにころがるとき，小円の周上の一点の軌跡を求めよ。

[3] 稜の長さが1である立方体に図のように内接する四面体 $\rm ACFH$ の体積を求めよ。

【一般数学】

[1] 正三角形の板を図のように四つの合同な正三角形に分け，それを赤・黄・青・白の4色を用いて塗り分ける。

(i) 4色の全部を用いるとき幾通りの塗り方があるか。

(ii) 4色のうち任意の3色を用いて隣り合う三角形は違う色になるようにするには幾通りの方法があるか。

(iii) 2色を用いるとすれば幾通りの方法があるか。

[2] 何人かがある距離を自動車で行くとき，大型ならば2台，小型ならば3台いる。大型の料金は1台につき最初の1km までが100円，その後320m ごとに20円を加える。小型の料金は1台につき最初の1km までが70円，その後480m ごとに20円を加える。どのような距離を行くとき小型を使うほうが有利になるか。

[3] 北緯 $30^{\circ}$ の地点で長さ 4m の棒の先端を北極星に向けて地上に立てておく。太陽の方位が南より $30^{\circ}$ 東，高度が $45^{\circ}$ であるとき，この棒の影の長さはなにほどか。