2025.08.02記 [5] 青玉 個，赤玉 個，白玉 個，合計 個の玉が入っている袋がある．この袋から無作為に1個の玉を取り出し，色を見て袋にもどす．これを 回繰り返す．取り出される玉の色の数の期待値を とするとき， を示せ．本問のテーマ 包除原理 2025.08.10…

2001年(平成13年)京都大学後期-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を度数法にしたもの．

2025.08.02記 [3] 平面上の曲線 上の点 における接線を とする． と曲線 とで囲まれる図形の面積の最小値を求めよ．2025.08.10記 [解答] とおくと となるので，これと の交点の 座標を とおくと， は の2解である． により， と は任意の に対して相異なる2…

2025.08.02記 [2] または からなる数列 において，そのうちの 個が で， 個は とする． に対し， とおく．集合 を求めよ．2025.08.10記 のままだと意味がわかりにくいが．これを と変形すると意味が見えてくる． [解答] であるから， のときの は における …

2025.08.02記 [1] 平面上のベクトル ， について，，， が成り立っているとする．原点を とし，点 ， を ， で定めるとき， の面積を求めよ．2025.08.10記 [うまい解答] に注意すると， ，， を3辺とする三角形の面積は の面積の面積の 倍である．よってヘロ…

2025.08.02記 [1] 平面上のベクトル ， について，，， が成り立っているとする．原点を とし，点 ， を ， で定めるとき， の面積を求めよ．[2] または からなる数列 において，そのうちの 個が で， 個は とする． に対し， とおく．集合 を求めよ．[3] 平…

2025.08.02記 [6] 平面上の単位円 と，条件 をみたす実数 に対し，点 を考える． 上の点 における の接線と， を通りこの接線と直交する直線との交点を とする．点 が 上を一周するときに， が描く曲線を とする． 上の点の 座標の最小値が より小さいことを…

2025.08.02記 [5] 行列 および実数 に対し，行列を用いて表された ， に関する2つの連立一次方程式(i) ，(ii) について，次の条件 を考える． 方程式(i)には解が存在して，方程式(ii)には解が存在しない．このとき，次の問に答えよ．(1) 条件 が成り立つとき…

2025.08.02記 [4] 負でない実数 に対し， で， が整数となる実数 を で表す．すなわち， は， の小数部分を表す．(1) となる正の整数 を1つ求めよ．(2) 進法による表示で の最高位の数字が となる正の整数 を つ求めよ．ただし，， である．2025.08.09記 京…

2025.08.02記 [3] 複素数平面上の単位円に内接する正五角形で， がその頂点の つとなっているものを考える．この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち，もとの正五角形の頂点以外のもので，実部，虚部がともに正であるものを とする．(1) とすると…

2025.08.02記 [2] 正の整数 に対し，多項式 を， に対しては とし， のときは で帰納的に定める． とおくとき， を求めよ．また， のとき が収束する実数 の範囲を求めよ．2025.08.09記 [解答] ， であるから， である．よって となる． に注意すると が収束…

2025.08.02記 [1] 方程式 をみたす正の整数の組 をすべて求めよ．2025.08.09記 [解答] より となり， に注意して となる．

2025.08.02記 [1] 方程式 をみたす正の整数の組 をすべて求めよ．[2] 正の整数 に対し，多項式 を， に対しては とし， のときは で帰納的に定める． とおくとき， を求めよ．また， のとき が収束する実数 の範囲を求めよ．[3] 複素数平面上の単位円に内接…

2025.08.02記 [5] 平面内の で定められる領域 と，中心が で原点 を通る円 を考える． が に含まれるという条件のもとで， が動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．本問のテーマ 焦点と準線を用いた放物線の定義2025.08.09記 幾何的には焦点が原点で準線…

2025.08.02記 [4] を2以上の整数とする．実数 に対し， とおく． について，不等式 が成り立っているとする． のとき，すべての について が成り立つことを示せ．本問のテーマ 平均値 2025.08.09記 まずは評価が大雑把な失敗例． の平均値を とおき， に対し…

2025.08.02記 [3] 任意の整数 に対し， は9で割り切れることを示せ．2025.08.09記 [解答] である． を整数として(i) のとき が9の倍数．(ii) のとき が9の倍数．(iii) のとき が9の倍数．よって任意の整数 に対し， は9で割り切れる． とあるので連続9整数の…

2025.08.02記 [2] 平面内の相異なる4点 ，，， とベクトル に対し， のとき が成り立っているとする．このとき， と異なるすべての に対し が成り立つような点 が存在することを示せ．2001年(平成13年)京都大学前期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式m…

2025.08.02記 [1]未知数 に関する方程式 が，虚軸上の複素数を解に持つような実数 をすべて求めよ．2025.08.09記 理系の 2001年(平成13年)京都大学前期-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の次数を下げた類題． [解答] 虚軸上の複素数解を （ …

2025.08.02記 [1]未知数 に関する方程式 が，虚軸上の複素数を解に持つような実数 をすべて求めよ．[2] 平面内の相異なる4点 ，，， とベクトル に対し， のとき が成り立っているとする．このとき， と異なるすべての に対し が成り立つような点 が存在する…

2025.08.02記 [6] 次の極限値を求めよ． 本問のテーマ の積分の極限 2025.08.04記 を求める問題は有名問題で 1978年(昭和53年)静岡大学-数学[x] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2…

2025.08.02記 [5] を 以上の整数とする． 以上の整数 に対し，次の条件(イ)，(ロ)をみたす複素数の組 の個数を とする．(イ) に対し， かつ， ．(ロ) ．このとき，次の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を ， の一方または両方を用いて表せ．(3) を求めよ．2…

2025.08.02記 [4] 空間内の正八面体の頂点 とベクトル に対し， のとき が成り立っているとする．このとき， と異なるすべての に対し が成り立つような点 が存在することを示せ．2025.08.02記 との内積が一定である点の集合は を法線ベクトルとする平面であ…

2025.08.02記 [3] 整数 に対し とおき， と定める．ただし， は虚数単位を表す．このとき， が任意の整数 に対して成り立つような正の整数 をすべて求めよ．2025.08.02記 [解答] が任意の整数 に対して の倍数であれば良く，よって のときの が の倍数かつ …

2025.08.02記 [2] 未知数 に関する方程式 が，虚軸上の複素数を解に持つような実数 をすべて求めよ．2025.08.02記 [解答] 虚軸上の複素数解を （ は実数） とおくと が成立し， が実数であることから となる． を消去して となるので となり，これらに対応し…

2025.08.02記 [1] 平面上の曲線 上の点 における接線を， を中心にして反時計回りに45 回転して得られる直線を とする． と が，相異なる3点で交わるような の範囲を図示せよ．2025.08.02記 [解答] とおく．点 を通り傾き の直線 と が相異3実解をもつ条件は…

2025.08.02記 [1] 平面上の曲線 上の点 における接線を， を中心にして反時計回りに45 回転して得られる直線を とする． と が，相異なる3点で交わるような の範囲を図示せよ．[2] 未知数 に関する方程式 が，虚軸上の複素数を解に持つような実数 をすべて求…