2025.08.15記 [5](1) を2以上の自然数とする．複素数 が ， をみたすとき， は次の(ア)から(キ)のどれと等しくなるか．根拠を示して1つ選べ．(ア) (イ) (ウ) (エ) (オ) (カ) (キ) (2) 次の等式が成り立つことを示せ． 2025.09.07記 [解答] (1) とおくと であ…

2025.08.15記 [4] 辺の長さが ，，，，， である四面体 の体積を求めよ．2025.09.07記 は直角三角形なので座標にのせましょう． [解答] ，，，（）とおくと …①，…②，…③ が成立する．①②，①③ により ， となり，①と から となる．よって求める体積は となる．

2025.08.15記 [3] 原点 を中心とする半径1の円 上に2点 ， をとる． が直角であるように点 が第1象限を，点 が第2象限を動くとき，点 における の接線，点 における の接線，および 軸が囲む三角形を考える．この三角形の面積が最小になるのはどのような場合…

2025.08.15記 [2] 実数 に対して3つの数，， ，2のうちの最小の数を とおく．さらに とおく．このとき， のグラフと 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．本問のテーマ 原点まわりのモーメント（力学） パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理 20…

2025.08.15記 [1] 三角形 と点 に対して，次の つの条件は同値であることを証明せよ．(i) 点 は三角形 の内部（周は除く）にある(ii) 正の数 ，， があって， が成り立つ2025.09.07記 基本問題． [解答] (i)ならば(ii)を示す．(i) のとき， と の交点を とす…

2025.08.15記 [1] 三角形 と点 に対して，次の つの条件は同値であることを証明せよ．(i) 点 は三角形 の内部（周は除く）にある(ii) 正の数 ，， があって， が成り立つ[2] 実数 に対して3つの数，， ，2のうちの最小の数を とおく．さらに とおく．このと…

2025.08.15記 [6] 7つの文字を並べた列 で，次の3つの条件をみたすものの総数を求めよ．(i) ，，， は ，，，，， のいずれかである(ii) ，，， に対し， と は相異なる(iii) ，，， に対し， と は右図において線分で結ばれている 2025.09.06記 [解答] ある…

2025.08.15記 [5] 極限 を求めよ．2025.09.06記 区分求積にもち込むには，うまく を捻り出さないといけません． [解答] となる．ここで は の99次以下の多項式であるから， となるので， となる．[解答]では差分から を捻り出しましたが，微分（平均値の定理…

2025.08.15記 [4] を正の数からなる数列とし， を正の実数とする．このとき をみたす番号 が存在することを証明せよ．2025.09.06記 まぁ，問題文からして背理法． [解答] そのような番号 が存在しないと仮定すると，任意の自然数 に対して が成立するので，…

2025.08.15記 [3] ， を実数とする．3次方程式 は3つの複素数からなる解 ，， をもち，相異なる ， に対し をみたしている．このような ， の組をすべて求めよ．2025.09.06記 [解答] 3つの解が複素数平面で1辺の長さが の正三角形をなし，その1つが実数であ…

2025.08.15記 [2] 一辺の長さが1の正三角形 の辺 上に点 をとり，線分 に沿ってこの三角形を折り曲げ，4点 ，，， を頂点とする四面体を作り，その体積を最大にすることを考える．体積が最大になるときの の位置と，そのときの四面体の体積を求めよ．本問の…

2025.08.15記 [1] 正三角形 の辺 上に点 ， が，辺 上に点 ， が，辺 上に点 ， があり，どの点も頂点には一致していないとする．このとき三角形 の重心と三角形 の重心が一致すれば， が成り立つことを示せ． 2025.09.05記 [解答] 正三角形 の重心を原点 に…

2025.08.15記 [1] 正三角形 の辺 上に点 ， が，辺 上に点 ， が，辺 上に点 ， があり，どの点も頂点には一致していないとする．このとき三角形 の重心と三角形 の重心が一致すれば， が成り立つことを示せ．[2] 一辺の長さが1の正三角形 の辺 上に点 をと…

2025.08.15記 [5] チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ 回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．勝ち数の多い順に順位をつけ，勝ち数が同じであればそれ…

2025.08.15記 [4] は3以上の素数であり，， は ， をみたす整数であるとする．このとき を で割った余りと， を で割った余りが等しければ， であることを示せ．2025.08.15記 [解答] 奇素数 に対して は の倍数であるが， は偶奇が等しいので または が の倍…

2025.08.15記 [3] 四面体 は次の2つの条件(i) ，， (ii) 4つの面の面積がすべて等しいをみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．少し表記が違うが 2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と…

2025.08.15記 [2] 平面上で，放物線 と，直線 を考える．このとき次の問に答えよ．(1) 放物線 と直線 が相異なる2点で交わるような の範囲を求めよ．(2) 放物線 と直線 の2つの交点を ， とし，線分 の長さを ，線分 と放物線とで囲まれる部分の面積を とす…

2025.08.15記 [1] を のように小数で表す．すなわち小数第 位の数を とする．このとき を求めよ．2025.08.15記 [解答] とおき， とする． であるから，求める和を初項 ，公比 の等比数列の和と考えると， のとき （ でも成立する）， のとき ， のとき とな…

2025.08.15記 [1] を のように小数で表す．すなわち小数第 位の数を とする．このとき を求めよ．[2] 平面上で，放物線 と，直線 を考える．このとき次の問に答えよ．(1) 放物線 と直線 が相異なる2点で交わるような の範囲を求めよ．(2) 放物線 と直線 の2…

2025.08.15記 [6] チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．このとき， 勝 敗のチームがちょうど チームである確率…

2025.08.15記 [5] ，，， を実数とする．2次の正方行列 と2次の単位行列 に対して，集合 を とする．このとき次の条件 が成立するための， ，，， についての必要十分条件を求めよ． の要素 は零行列でなければ逆行列をもつ 本問のテーマ Jordan 標準形 2025…

2025.08.15記 [4] 多項式 は多項式 で割り切れるか．2025.08.15記 [解答] の解の1つを とおくと， は虚数である． とし， （ は実数） とおくと であるから， となり， が成立する． は虚数， は実数であるから となり，よって は で割き切れる．， から は …

2025.08.15記 [3] 四面体 は次の2つの条件(i) ，， (ii) 4つの面の面積がすべて等しいをみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．2025.08.15記 理系では ，， となっているが文系では ，， となっている．これは文系に対しては「ベク…

2025.08.15記 [2] とする．点 における の法線と， のグラフの の部分，および 軸とで囲まれる図形を考える．この図形を 軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ．本問のテーマ 瞬間部分積分法 2025.08.15記 [解答] により だから，法線の方程式は …

2025.08.15記 [1] 正の数からなる数列 が次の条件(i)，(ii)をみたすとき， を求めよ．(i) (ii) 2025.08.15記 [解答] により となるので， が成立する．よって である．

2025.08.15記 [1] 正の数からなる数列 が次の条件(i)，(ii)をみたすとき， を求めよ．(i) (ii) [2] とする．点 における の法線と， のグラフの の部分，および 軸とで囲まれる図形を考える．この図形を 軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ．[3…