2025.04.09記 [5] 空間の 点 ，，， を考える．(1) 直線 ， から等距離にある点全体のなす図形を求めよ．(2) 直線，，， に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求めよ．2025.04.09記 例えば交わり一致しない 平面上の2直線 と から等距離にある点全体の…

2025.04.09記 [4] 空間において， 軸を軸とする半径2の円柱から， かつ で表される角柱の内部を取り除いたものを とする．また， を 軸のまわりに 回転してから 軸のまわりに 回転したものを とする． と の共通部分の体積を求めよ．2025.04.09記 [解答] （…

2025.04.09記 [3] 実数が書かれた3枚のカード ，， から，無作為に2枚のカードを順に選び，出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える．正の整数 に対して，この操作を 回繰り返して得られる 個の複素数の積を で表す．(1) となる確率 を求め…

2025.04.09記 [2] 方程式 を満たす整数の組 をすべて求めよ．本問のテーマ 連続 整数の積は の倍数 2025.04.09記 秒は一日の秒数だから となるので少くとも が解であることがわかる．それはともかく，， が連続3整数の積であることに気づかないといけない．…

2025.04.09記 [1] 実数 の整数部分を求めよ．2025.04.09記 の原始関数を初等的に求めることはできないので，評価することを考える．まずは単純に で だから （左の等号は のときのみ成立） となるので から が成立する．ここで はほぼ であるから，求める整…

2025.04.09記 [1] 実数 の整数部分を求めよ．[2] 方程式 を満たす整数の組 をすべて求めよ．[3] 実数が書かれた3枚のカード ，， から，無作為に2枚のカードを順に選び，出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える．正の整数 に対して，この操…

2025.04.06記 [5] 以上の整数 に対し，関数 を，，（）により定める．(1) 以上の整数 と任意の実数 に対し，等式 が成り立つことを示せ．(2) 自然数 に対し， を求めよ．ただし， は の導関数である．本問のテーマ チェビシェフ多項式 2025.04.07記 [解答] (…

2025.04.06記 [4] 整数の組 が次の つの式をともに満たすとき， は を満たす整数の組であるという． ，例えば， は を満たす整数の組である．(1) が を満たす整数の組となるような整数 を求めよ．(2) 次の条件(i)，(ii)をともに満たす数列 が存在することを…

2025.04.06記 [3] から までの整数が つずつ重複せずに書かれた 枚のカードがある．この中から同時に4枚のカードを取り出すとき，取り出したカードに書かれている数の和が 以下となる確率を求めよ．2025.04.06記 [解答] カードが小さい順に とする．(i) のと…

2025.04.06記 [2](4) 平面において， つの曲線 ， で囲まれた部分の面積は である．また，この部分を 軸のまわりに 回転してできる立体の体積は である．2025.04.06記 [解答] 囲まれた部分の面積は であり，囲まれた部分を 軸のまわりに回転させてできる立体…

2025.04.06記 [2](3) の 次式 は整数 （）に対して， を満たす．このとき， の値を既約分数で求めると， である．本問のテーマ 因数を無理矢理作る 2025.04.06記 因数定理の応用（一種の補間公式） - 球面倶楽部 零八式 mark II でも触れた，因数を無理矢理…

2025.04.06記 [2](2) 複素数平面上で， を満たす点 の全体を とする．このとき， によって囲まれる部分の面積は である．2025.04.06記 [解答] を原点中心に 回転させた図形 は となり，複素数平面上で を焦点とし，焦点からの距離の和が6となる楕円であるか…

2025.04.06記 [2](1) 関数 （）は， のとき，最小値 をとる．2025.04.06記 [解答] とおくと における （ とおく） の最小値を求めれば良い． であるから， における増減表は となり，，すなわち （∵）のとき最小値 をとる．よって ， である．

2025.04.06記 [1](5) 実数の組 が を満たすとき， の最小値は である．2025.04.06記 [解答] 円 の中心 は 上にあるので，円の中心と領域 の最短距離を与える領域上の点は 上にある．よって点と直線の距離の公式により の最小値は となる．

2025.04.06記 [1](4) 空間内に 点 ， ， ， がある．直線 上を点 が動き，直線 上を点 が動く．直線 と直線 が垂直であり，かつ直線 と直線 が垂直であるとき，点 の座標は であり，点 の座標は である．ただし，答えに分数があらわれるときは，既約分数にせ…

2025.04.06記 [1](3) 個から 個取る組合せの総数 を素因数分解したとき， 桁の素因数の中で最大のものは である．2025.04.06記 [解答] に残る2桁の素因数は分子に2個以上含まれる2桁の素数であるから， 以下の最大の素数 である．よって である．

2025.04.06記 [1](2) を自然数とする．中が見えない壺に， 個の赤玉と 個の白玉が入っている．この壺の中から 個の玉を同時に取り出すとき，取り出した白玉が 個以下となる確率を と書く．このとき， であり， であり， である．ただし，すべて既約分数で解…

2025.04.06記 [1](1) 一辺の長さが の正八角形がある．その頂点を反時計回りに ，，，，，，， とする．このとき， であり， である．ただし，答えが分数のときは，分母を有理化せよ．2025.04.06記 [解答] 一辺の長さが の正方形の中に一辺の長さが の正八角…

2025.04.06記 [1] 次の問題文の空欄 から にあてはまるものを解答欄に記入せよ．(1) 一辺の長さが の正八角形がある．その頂点を反時計回りに ，，，，，，， とする．このとき， であり， である．ただし，答えが分数のときは，分母を有理化せよ．(2) を自…