2025.05.10記 [5] 座標空間内で，，，，，，，， を頂点にもつ立方体を考える．(1) 頂点 から対角線 に下ろした垂線の長さを求めよ．(2) この立方体を対角線 を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．本問のテーマ 立方体の対角線を軸とした回転…

2025.05.10記 [4] 点 を中心とする正十角形において，， を隣接する2つの頂点とする．線分 上に を満たす点 をとるとき， が成立することを示せ．2025.05.11記 や の三角比を求めたときのことを思い出そう． [解答] ， であるから， の2等分線と の交点を と…

2010年(平成22年)京都大学-数学(理系甲)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.05.10記 [2] 座標平面上の点 が ，， の範囲を動くとき，， のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．本問のテーマ 線形計画法 2025.05.11記 [解答] 与えられた範囲は ，， とすると 三角形の内部という凸領域である．・ の最大値や最小値は の頂点でとる…

2025.05.10記 [1](2) において ， とする． の二等分線と辺 の交点を とする． となるとき， の面積を求めよ．2025.05.11記 [解答] の中点を とすると，2辺夾角相等により が成立し，よって となり， となる．よって の面積は となる．

2025.05.10記 [1](1) 座標平面上で，点 を通り傾き の直線と放物線 によって囲まれる部分の面積を とする． が の範囲を変化するとき， を最小にするような の値を求めよ．本問のテーマ はみだし削り論法 カヴァリエリの原理 2025.05.11 はみだし削り論法に…

2025.05.10記 [1] 次の各問に答えよ．(1) 座標平面上で，点 を通り傾き の直線と放物線 によって囲まれる部分の面積を とする． が の範囲を変化するとき， を最小にするような の値を求めよ．(2) において ， とする． の二等分線と辺 の交点を とする． と…

2025.05.10記 [6] 座標空間内で，，，，， ，，， を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線 を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．本問のテーマ 立方体の対角線を軸とした回転（有名問題） シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）2025.…

2010年(平成22年)京都大学-数学(理系乙)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.05.10記 [4] 数列 は，すべての正の整数 に対して を満たしているとする．このとき，すべての に対して であることを示せ．2025.05.10記 [解答] のとき より である． なるすべての正の整数 に対して のとき， より であるから数学的帰納法によりすべて…

2010年(平成22年)京都大学-数学(理系乙)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2010年(平成22年)京都大学-数学(理系乙)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.05.10記 [1] 1から5までの自然数を1列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき1番目と2番目と3番目の数の和と，3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重…

2025.05.10記 [1] 1から5までの自然数を1列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき1番目と2番目と3番目の数の和と，3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重…

2025.05.10記 [6] 個のボールを 個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を とする．このとき，極限値 を求めよ．本問のテーマ Stirling の公式（Stirli…

2025.05.10記 [5] 次の問に答えよ．(1) を正の整数， とする． は で割り切れるが では割り切れないことを示せ．(2) を正の偶数とする． が で割り切れるならば または であることを示せ．2025.05.10記 (1) ，， の因数分解を考えてみる．(2) の因数分解を思…

2025.05.10記 [4] とする．3辺の長さが ，， である鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする．このとき を用いて を表せ．2025.05.10記 [解答] 正弦定理により長さ の辺の対角は であり， 長さ の辺の対角をそれぞれ とすると ， が成立する． 注）このとき…

2025.05.10記 [3] を正の実数とする．座標平面において曲線 と 軸とで囲まれた図形の面積を とし，曲線 ，曲線 および 軸で囲まれた図形の面積を とする．このとき となるような の値を求めよ．2025.05.10記 [解答] と の における交点の 座標を とすると ，…

2025.05.10記 [2] を正の実数とする．座標平面上の 点 ，， をとり， を考える． の値が変化するとき， の最大値を求めよ． 本問のテーマ レギオモンタヌスの問題 2025.05.10記 [解答] を通る円 上の点 における接線は ，つまり となる．よって直線 上の 以…

2025.05.10記 [1] 四面体 において と ， と ， と はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点 ，頂点 および辺 の中点 の 点を通る平面は辺 と直交することを示せ．2025.05.10記 [解答] 位置ベクトルを などと置くと，， は ， となる．前者から後者を引…

2025.05.10記 [1] 四面体 において と ， と ， と はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点 ，頂点 および辺 の中点 の 点を通る平面は辺 と直交することを示せ．[2] を正の実数とする．座標平面上の 点 ，， をとり， を考える． の値が変化するとき，…