2026年(令和8年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学

2025.11.15記

[1] 平面内の三角形 $\triangle\mbox{ABC}$ を考える． $\triangle\mbox{ABC}$ の面積を $S$ とする．平面内の任意の点 $\mbox{P}$ に対して
$\dfrac{16S^2}{9} \left(\dfrac{1}{\mbox{AB}^2}+\dfrac{1}{\mbox{BC}^2}+\dfrac{1}{\mbox{CA}^2}\right)$ $\leqq \mbox{AP}^2+\mbox{BP}^2+\mbox{CP}^2$
が成り立つことを示せ．

[2] $N$ を自然数とする．コインを $N$ 回投げ，関数 $f_0(x)$ ， $f_1(x)$ ，…， $f_N(x)$ を次で帰納的に定める．

$f_0(x)=e^x$
$f_n(x)=\begin{cases} f'_{n-1}(x) & (n回目に投げたコインが表の場合) \\ xf_{n-1}(x) & (n回目に投げたコインが裏の場合) \end{cases}$

このとき， $f_N(0)$ が奇数である確率を求めよ．ただし，コインを投げて出る結果は各回で独立であり，コインを $1$ 回投げたときに表と裏が出る確率はそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ であるとする．

[3] $a$ を正の実数とする．正の実数 $t$ に対して，不等式
$x^2+y^2+a^2z^2\leqq t^2$
を満たす点 $(x，y，z)$ 全体からなる集合を $V(t)$ とする．また， $V(t)$ に含まれる点 $(x，y，z)$ のうち， $x，y，z$ がすべて整数であるものの個数を $N(t)$ とする．このとき，
$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{N(t)}{t^3}$
を求めよ．