2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2023.11.22記 [2] 座標平面上の放物線 を とおき，直線 を とおく．実数 に対し， 上の点 と の距離を とする．(1) の範囲の実数 に対し，定積分 を求めよ．(2) が の範囲を動くとき， の最大値および最小値を求めよ．2023.11.23記 [解答] (1) 点と直線の距…

2023.11.22記[1] を正の実数とし，2次方程式 の2つの実数解を ， とする． が の範囲を動くとき， の最小値を求めよ．2023.11.23記 [解答] ， は ， ， をみたすので， となるので，この値の における最小値は AM-GM 不等式により （等号成立は から ） とな…

2023.11.22記 [6] を原点とする座標空間において，不等式 ，， の表す立方体を考える．その立方体の表面のうち， を満たす部分を とする．以下，座標空間内の2点 ， が一致するとき，線分 は点 を表すものとし，その長さを と定める．(1) 座標空間内の点 が…

2023.11.22記 [5] 整式 を考える．(1) を実数を係数とする整式とし， を で割った余りを とおく． を で割った余りと を で割った余りが等しいことを示せ．(2) ， を実数とし，と おく． を で割った余りを とおき， を で割った余りを とおく． が に等しく…

2023.11.22記[4] 座標空間内の4点 ，，， を考える．(1) ，， を満たす点 の座標を求めよ．(2) 点 から直線 に垂線を下ろし，その垂線と直線 の交点を とする． を と を用いて表せ．(3) 点 を により定め， を中心とする半径 の球面 を考える． が三角形 と…

2023.11.22記 [3] を実数とし，座標平面上の点 を中心とする半径1の円の周を とする．(1) が，不等式 の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ．(2) は(1)で求めた範囲にあるとする． のうち かつ を満たす部分を とする． 上の点 に対し，点 での の接線…

2023.11.22記[1] (1) 正の整数 に対し， とおく．次の不等式が成り立つことを示せ． (2) 正の整数 に対し， とおく．極限 を求めよ．2023.11.22記 (1) 積分を で評価したいので とおいて を作って と結びつける．(2) 形から区分求積法．(1)の両辺の区分求積…

2023.11.22記[1] を正の実数とし，2次方程式 の2つの実数解を ， とする． が の範囲を動くとき， の最小値を求めよ．[2] 座標平面上の放物線 を とおき，直線 を とおく．実数 に対し， 上の点 と の距離を とする．(1) の範囲の実数 に対し，定積分 を求め…

2023.11.22記 [1] (1) 正の整数 に対し， とおく．次の不等式が成り立つことを示せ． (2) 正の整数 に対し， とおく．極限 を求めよ．[2] 黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる．た…

2023.11.22記[2] 黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．(1) どの赤玉も隣り合わない確率 を求めよ．(2) どの赤玉も…

2024.02.20記 [7] 座標平面上に点 がある．原点を とし，0より大きい整数 に対して点 の座標を とする（）．このとき，以下の問に堪えよ．(1) の外接円の面積を としたとき， はいくらか．(2)(i) 実数 について， とおいたとき， を で表せ．(ii) 定積分 の…

2023.10.29記(2024.02.20修正) [6] ある科目の授業が週に1回あり，2人の学生がその授業を受けることになっている．どちらの学生も，独立に の確率で授業に出席するものとする．ただし，授業の出席人数が 人になったときは，どちらの学生も次の週には独立に …

2023.10.29記(2024.02.20修正) [5] ，， の において，辺 上に なる点 をとる．また，点 から辺 に垂線を下ろし，辺 との交点を とし，直線 と 直線 の交点を とする． となるため， である．（分数はそれ以上約分できない形で解答すること．）2023.10.29記(…

2023.10.29記(2024.02.20修正) [1] 整数 に対する不定方程式 の整数解の組 を考える． のとき， かつ となる整数解の組は全部で 組ある．また かつ かつ となる整数解の組がちょうど3組になる のうち最大のものは である．2023.10.29記(2024.02.20修正) [解…

2023.10.29記(2024.02.20修正) [3] 複素平面において，原点 ではない点 を を中心として反時計まわりに だけ回転し，さらに，実軸の正の方向に2だけ平行移動した点を とする．，（ は実数）となるような と の組は である．また， がこの組であるとき， の内…

2023.10.29記(2024.02.20修正) [2] 正の実数 の関数 がある．の逆関数を とする．また， がる．ここで， は実数の定数， は自然対数であり，自然対数の底を とする．なお， である．また，区間 を とする．ある実数の定数 があって， 内の全ての に対して が…

2023.10.29記(2024.02.20修正) [1] 座標平面上に2つの放物線 ，（ は実数）がある． と が異なる2点 ， を共有し，， どちらにおいても の接線と の接線が直交するとする．このとき ， の 座標をそれぞれ とすると， の値は である．さらに， で囲まれた部分…

2023.10.08記 [1](5) 4 つの鋭角 が，， という 2 つの関係式を満たしているとき， を のみで表すと， ［オ］ である．また， を のみで表すと，［カ］である．本問のテーマ 直角球面三角形におけるネイピアの円（球面三角法）2023.10.08記 球面三角法の公式…

俺用しおり

1980年代をゆるやかに更新して、下書きに放置してある問題を解決して、いいかげんに2023年度の東大京大を解くことにする。このあたりは年内の目標。

ここ半年、体調不良のためブログを放置していて、このまま止めようと思っていたのだが、8月中旬から少しだけ再開しようかと思う。

2023.01.23記 [4] を 以上の素数とし， を整数とする．このとき， 以上の整数 であって を満たすものが存在することを示せ．2023.01.23記 いや，無理でしょう．2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR で挙げた D.F. Baile…

2023.01.23記 [3] 複素数の数列 に対する次の2つの条件を考える．(i) すべての自然数 に対して， が成り立つ．(ii) すべての自然数 に対して， は実数である．複素数の数列 で (i) と (ii) をともに満たすものをすべて考えたとき， がとり得る値をすべて求め…

2023.01.23記 [1] 平面内の鋭角三角形 を考える．の内部の点 に対して， 直線 に関して と対称な点を ， 直線 に関して と対称な点を ， 直線 に関して と対称な点を とする．6点 が同一円周上にあるような は の内部にいくつあるか求めよ．本問のテーマ Joh…

2023.01.22記 [2] 2つの整数 と が を満たすとする．また，関数 を （） と定める．ただし， は自然対数を表す．また， を自然対数の底とする．以下の設問に答えよ．(1) が成り立つことを示せ．(2) を満たす任意の整数 に対して が成り立つことを示せ．(3) …

令和７年度東京大学入学者選抜（一般選抜）における 出題教科・科目等について〔予告〕(pdf) 共通テストの情報Iが必修か．情報Iも時代と共に色褪せる知識問題があまり出ないならいいのだけど。