1951年(昭和26年)東京大学-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

4科目のうち2科目を選択せよ、150分、200点

【解析Ｉ】

[1] 方程式 $|x^2-1|+k+k=0$ の実根の個数は実数 $k$ の値によってどのようにかわるか。

[2] $f=x^2-xy-6$ ， $g=x^2-y^2-1$ とする。

(1) $f=g=0$ を満足する $x,\,y$ の値を求めよ。

(2) $f < 0,\, g < 0$ を満足する $x,\,y$ を座標とする点の存在する範囲を図示せよ。

(3) また $fg < 0$ を満足する $x,\,y$ を座標とする点の存在する範囲を図示せよ。

[3] 山の高さを知るために，同じ水平面上に二地点 A，Bをとり，山の頂点 C からこの水平面に下した垂線の足を D として， $\rm AB=$ $a$ ， $\angle\rm CAB=$ $\alpha$ ， $\angle\rm ABC=$ $\beta$ ， $\angle\rm CAD=$ $\gamma$ を測った。このとき

(1) 山の高さ $\rm CD=$ $k$ を求める式を作れ。

(2) $a=1000$ m， $\alpha=75^{\circ}$ ， $\beta=53^{\circ}$ ， $\gamma=39^{\circ}$ のとき，次の数表を用いて $k$ を求めよ。

三角函数表

	sin	cos	tan
$37^{\circ}$	.6018	.7986	.7536
$38^{\circ}$	.6157	.7880	.7813
$39^{\circ}$	.6293	.7771	.8098

対数表

	0	1	2	3	4
6.2	.7295	.7931	.7938	.7945	.7952
6.3	.7993	.8000	.8007	.8014	.8021
7.8	.8921	.8927	.8932	.8938	.8943
7.9	.8976	.8982	.8987	.8993	.8998
	5	6	7	8	9
6.2	.7959	.7966	.7973	.7980	.7987
6.3	.8028	.8035	.8041	.8048	.8055
7.8	.8949	.8954	.8960	.8965	.8971
7.9	.9004	.9009	.9015	.9020	.9025

【解析ＩＩ】

[1] 一定の体積 $V$ なる直円柱の全表面積のうちで最小なものの値を求めよ。

[2] 半径 $a$ の固定した円に糸を巻きつけておき，その端を円周上の一点 $\rm A$ から，糸がたるまないように，その円の平面内でほぐして行くとき，その端の描く曲線の弧 $\rm AP$ の長さをほぐれた糸 $\rm QP$ の長さ $l$ で表せ。

(図略)

[3] 二つの曲線
$x^2+y^2=4\sqrt{3}py,\, y^2=px$
に囲まれる面積を求めよ。ただし $p > 0$ とする。

【幾何】

[1] 正方形 $\rm ABCD$ の辺 $\rm CB$ ， $\rm CD$ 上にそれぞれ点 $\rm E$ ， $\rm F$ をとり， $\rm CE=CF$ ならしめ， $\rm E$ から $\rm AF$ に垂線を下し，その足を $\rm G$ とする。 $\rm E$ を辺 $\rm BC$ 上に動かすとき $\rm G$ はどんな線の上を動くか。

[2] 放（抛）物線の焦点を通る弦を直径とする円はその放物線の準線に接することを証明せよ。

[3] 図のような立方体 $\rm ABCDA'B'C'D'$ において辺 $\rm AB$ ， $\rm BB'$ ， $\rm B'C'$ ， $\rm C'D'$ ， $\rm D'D$ ， $\rm DA$ の中点をそれぞれ $\rm L$ ， $\rm M$ ， $\rm N$ ， $\rm P$ ， $\rm Q$ ， $\rm R$ とするとき，六角形 $\rm LMNPQR$ は正六角形であることを証明せよ。