1959年(昭和34年)東京大学-数学【解析II】(旧課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.24記

[1] 時刻 $t$ における点 $\mbox{P}$ の位置 $(x，y)$ がつぎの方程式(i)，(ii)，(iii)，(iv)によって与えられている．各場合について， $t$ が $0$ から $2\pi$ まで変わるとき点 $\mbox{P}$ のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ．

例
$\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=t-\dfrac{1}{2}gt^2 \end{array} \right.$ $(0\leqq t\leqq\dfrac{2}{g})$

(i) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=2\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right) \end{array}\right.$

(ii) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=\cos(t+\pi) \end{array}\right.$

(iii) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=\cos 2t \end{array}\right.$

(iv) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=2\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{2}\right) \end{array}\right.$

[2] $a$ ， $b$ を実の定数とするとき，定積分
$\mbox{I}(a，b)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(1-a\sin x-b\sin 2x)^2\,dx$
を求めよ．また $\mbox{I}(a，b)$ を最小にする $a$ ， $b$ の値を定めよ．

ただし $m$ を定数とするとき，
$\dfrac{d}{dx}\sin mx =m\cos mx，\dfrac{d}{dx}\cos mx =-m\sin mx$
である．

[3] $x$ ， $y$ 平面上の点 $(0，a)$ を $\mbox{P}$ ，直線 $y=a$ を $g$ とする． $g$ を含み $y$ 軸に垂直な平面上に， $\mbox{P}$ を中心とし $g$ と角 $60^{\circ}$ をなす長さ $2b$ の線分 $\mbox{AB}$ をとり， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ とする．ねじれ四辺形 $\mbox{ABDC}$ を $x$ 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．