2008年(平成20年)京都大学-数学(文系) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.10.29記

[1] 実数 $a$ ， $b$ ， $c$ に対して $f(x)=ax^2+bx+c$ とする．このとき $\displaystyle\int_{-1}^1(1-x^2)\{ f'(x) \}^2\,dx\leqq6\int_{-1}^1 \{ f(x) \}^2\,dx$ であることを示せ．

[2] $\mbox{AB}=\mbox{AC}$ である二等辺三角形 $\mbox{ABC}$ を考える．辺 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{M}$ とし，辺 $\mbox{AB}$ を延長した直線上に点 $\mbox{N}$ を， $\mbox{AN}:\mbox{NB}=2:1$ となるようにとる．このとき $\angle\mbox{BCM} = \angle\mbox{BCN}$ となることを示せ．ただし，点 $\mbox{N}$ は辺 $\mbox{AB}$ 上にはないものとする．

[3] 定数 $a$ は実数であるとする．方程式 $(x^2+ax+1)(3x^2+ax-3)=0$ を満たす実数 $x$ はいくつあるか． $a$ の値によって分類せよ．

[4] $0 \leqq x \lt 2\pi$ のとき，方程式 $2\sqrt{2}(\sin^3x+\cos^3x)+3\sin x\cos x=0$ を満たす $x$ の個数を求めよ．

[5] 正 $n$ 角形とその外接円を合わせた図形を $F$ とする． $F$ 上の点 $\mbox{P}$ に対して，始点と終点がともに $\mbox{P}$ であるような，図形 $F$ の一筆がきの経路の数を $N(\mbox{P})$ で表す．正 $n$ 角形の頂点をひとつとって $\mbox{A}$ とし， $a=N(\mbox{A})$ とおく．また正 $n$ 角形の辺をひとつとってその中点を $\mbox{B}$ とし， $b=N(\mbox{B})$ とおく．このとき $a$ と $b$ を求めよ．