2025.05.06記
[2] 四面体 
を考える．点 
，
，
，
，
，
は，それぞれ辺 
，
，
，
，
，
上にあり，頂点ではないとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) と
が平行ならば
であることを示せ．
(2) ，
，
，
，
，
が正八面体の頂点となっているとき，これらの点は
の各辺の中点であり，
は正四面体であることを示せ．
本問のテーマ
正四面体と正八面体の双対性
2025.05.06記
[うまい解答]
(1) 直線
を含む平面 
とその平面上にない直線 
が平行であるから，直線 を含む平面 
と平面 の交線である直線 
も平行である．
(1) 直線
により
が成立する．
(2) (1)より であり，同様に
，
であるから
∽
により
は正三角形となる．同様にして残りの面も正三角形である．よって四面体
の全ての面が正三角形となり，よって正四面体となる．
