2001年(平成13年)京都大学前期-数学(文系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.08.02記

[3] 任意の整数 $n$ に対し， $n^9-n^3$ は9で割り切れることを示せ．

2025.08.09記

[解答]
$n^9-n^3=n^3(n^3-1)(n^3+1)$ である．

$k$ を整数として

(i) $n=3k$ のとき $n^3=27k^3$ が9の倍数．

(ii) $n=3k+1$ のとき $n^3-1=9(3k^3+3k+k)$ が9の倍数．

(iii) $n=3k-1$ のとき $n^3+1=9(3k^3-3k+k)$ が9の倍数．

よって任意の整数 $n$ に対し， $n^9-n^3$ は9で割り切れる．

$n^9$ とあるので連続9整数の積を考えたくなるが，連続9整数は $9!$ の倍数なので $81$ の倍数となるので条件が強すぎて，それほど簡単には行かない．場合分けを回避するには結構面倒である．

[別解]
$f(n)=\displaystyle\prod_{k=n-4}^{n+4} k$ は連続9整数の積なので $9!$ の倍数となり， $81$ の倍数である．
$g(n)=\displaystyle\prod_{k=n-3}^{n+3} k$ は連続7整数の積なので $7!$ の倍数となり， $9$ の倍数である．
$h(n)=\displaystyle\prod_{k=n-2}^{n+2} k$ は連続5整数の積なので $5!$ の倍数となり， $3$ の倍数である．
$k(n)=(n-1)n(n+1)$ は連続3整数の積なので $3!$ の倍数となり， $3$ の倍数である．よって
$n^9-n^3=f(n)+30g(n)+3\{49h(n)+28k(n)\}$
は $9$ の倍数である．

mod 9 で計算して行くならば
$f(n)+3g(n)+3h(n)+3k(n)$
$\equiv n^3(n^2+2)(n^2-4)(n^2-1)$ $+3n^3(n^2-4)(n^2-1)$ $+3n(n^2-4)(n^2-1)$ $+3n(n^2-1)$
$=n^9-18n^5+8n^3+9n$ $\equiv n^9-n^3$
としても良い．

また，連続7整数の積が9の倍数にのみ着目して

[別解]
$g(n)=\displaystyle\prod_{k=n-3}^{n+3} k$ は連続7整数の積なので $7!$ の倍数となり， $9$ の倍数である．よって
$n^9-n^3=(n^2+14)g(n)$ $+3\cdot 7(7n^2-24)(n-1)n(n+1)$
は連続3整数の積 $(n-1)n(n+1)$ が $3$ の倍数であるから， $9$ の倍数である．