1936年(昭和11年)京都帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.01.24記

[2] $\displaystyle\int\dfrac{x^3}{x^2-3x+2}\,dx$ ， $\displaystyle\int\sec x\tan^2x\,dx$

2025.01.29記

[解答]
$\displaystyle\int\dfrac{x^3}{x^2-3x+2}\,dx$ $=\displaystyle\int\left( x+3+\dfrac{8}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}\right)\, \,dx$ $\dfrac{x^2}{2}+3x+8\log |x-2|-\log |x-1| +(積分定数)$
である．

$I=\displaystyle\int\sec x\tan^2x\,dx$ において $\sin x=t$ と置換すると
$I=\displaystyle\int\dfrac{\sin^2 x}{\cos^3 x}\,dx$ $=\displaystyle\int\dfrac{\sin^2 x}{(1-\sin^2 x)^2 }(\cos x\, dx)$ $=\displaystyle\int\dfrac{t}{(1-t^2)^2 }\, dt$
$=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{(t-1)^2}+\dfrac{1}{(t+1)^2}+\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}\right)\,dt$
$=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}+\log \left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{\sin x-1}-\dfrac{1}{\sin x+1}+\log \left|\dfrac{\sin x-1}{\sin x+1}\right|\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sin x}{\cos^2 x}+\log \left|\dfrac{(1-\sin x)^2}{\cos^2 x}\right|\right)+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}+\dfrac{1}{2}\log \left|\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\right|+(積分定数)$
となる．

$(\sec x)'=\sec x\tan x$ ，
$\displaystyle\int \sec x\,dx=\log |\sec x+\tan x|+(積分定数)$ $=\log \left|\tan\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+(積分定数)$ $=\dfrac{1}{2}\log \left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+(積分定数)$ $=\log \left|\dfrac{1+\sin x}{\cos x}\right|+(積分定数)$ $=\log \left|\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\right|+(積分定数)$
を知っていれば次のように解ける．

[解答]
$I=\displaystyle\int\sec x\tan^2x\,dx$ $=\displaystyle\int (\sec x)' \tan x\,dx$ $=\sec x\tan x- \displaystyle\int \sec x \cdot \sec^2 x\,dx$ $=\sec x\tan x- \displaystyle\int \sec x (1+\tan^2 x)\,dx$ $=\sec x\tan x- \displaystyle\int \sec x\,dx-I$
であるから，
$I=\dfrac{1}{2}\sec x\tan x-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sec x\,dx$ $=\dfrac{1}{2}\sec x\tan x-\dfrac{1}{2}\log |\sec x+\tan x|+(積分定数)$
となる．