[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1959-02-14

1959年(昭和34年)京都大学-数学【数学ＩＩ】(新課程)[1]

2025.12.21.23:54:39記

[1](イ) $y$ に実数値を与えて，方程式 $x+\dfrac{1}{x}=y$ が実数 $x$ によって満たされるようにしたい．そのような $y$ の値の範囲を求めよ．

(ロ) 四次方程式 $x^4+px^3+8x^2+px+1=0$ が四つの実根をもつようにするために，係数 $p$ に与えるべき実数値の範囲を求めよ．

2025.12.28.22:55記
「異なる」四つの実根ではないので重解でも良いと考えます．

[解答]
(イ) $x^2-yx+1=0$ が実数解を持つ $y$ の範囲である $|y|\geqq 2$ となる．

(ロ) $y^2+py+6=0$ が実数解を持ち， $|y|\lt 2$ の範囲に実数解を持たなければ良い．

実数解を持つ条件は $|p|\geqq 2\sqrt{6}$ である． $|y|\lt 2$ の範囲に実数解を持つ条件は $(10+2p)(10-2p)\lt 0$ ，つまり $-5\leqq p\leqq 5$ であるから求める条件は $2\sqrt{6}\leqq |p|\leqq 5$ となる．