2016年(平成28年)京都大学-数学(文系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.04.21記

[5] 実数を係数とする3次式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ に対し，次の条件を考える．

（イ）方程式 $f(x)=0$ の解であるすべての複素数 $\alpha$ に対し， $\alpha^3$ もまた $f(x)=0$ の解である．

（ロ）方程式 $f(x)=0$ は虚数解を少なくとも1つもつ．

この2つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす3次式をすべて求めよ．

2025.04.21記(23:35:44)
2016年(平成28年)京都大学-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の類題．

[解答]
実数係数の3次方程式は少くとも1つの実数解を持つので（ロ）により $f(x)=0$ は1つの実数解と1組の共役な虚数解を持つ．この実数解を $A$ ，虚数解を $\alpha，\overline{\alpha}$ （ $\alpha\neq\overline{\alpha}$ ）とおくと $f(x)=(x-A)(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})$ と因数分解できる．

（イ）により $f(A^3)=0$ となり， $A^3-\alpha，A^3-\overline{\alpha}$ は虚数であるから $A^3-A=0$ となり，よって $A=-1，0，1$ となる．

次に $f(\alpha^3)=0$ （ $f(x)$ は実数係数なのでこの条件は $f(\overline{\alpha}^3)=0$ と同値だから，この条件だけ考えれば良い）が成立するので $\alpha^3=A，\alpha，\overline{\alpha}$ のいずれかである．

(i) $\alpha^3=\alpha$ のとき： $\alpha=-1，0，1$ であるから $\alpha$ が虚数であることに反する．

(ii) $\alpha^3=\overline{\alpha}$ のとき：
$|\alpha|^3=|\overline{\alpha}|$ から $|\alpha|=0，1$ であるが $\alpha$ が虚数であるので $|\alpha|=1$ となり，このとき $\alpha^4=1$ から $\alpha=\pm i$ となる．いずれの場合も $A=-1，0，1$ とあわせて $f(x)=(x+1)(x^2+1)，x(x^2+1)，(x-1)(x^2+1)$ となる．

(iii)(a) $\alpha^3=A=0$ のとき $\alpha$ が虚数であることに反する．

(b) $\alpha^3=A=1$ のとき $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと $\alpha=\omega，\overline{\omega}$ となる．いずれの場合も $f(x)=(x-1)(x-\omega)(x-\overline{\omega})=x^3-1$ となる．

(c) $\alpha^3=A=-1$ のとき $\eta=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと $\alpha=\eta，\overline{\eta}$ となる．いずれの場合も $f(x)=(x+1)(x-\eta)(x-\overline{\eta})=x^3+1$ となる．

以上から求める3次式は
$f(x)=(x+1)(x^2+1)，x(x^2+1)，(x-1)(x^2+1)$ ， $x^3+1$ ， $x^3-1$
の5つとなる．