2016年(平成28年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.04.25記

[1](1) $n$ を2以上の自然数とするとき，関数

$f_n(\theta)=(1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta$

の $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ における最大値 $M_n$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{(M_n)}^n$ を求めよ．

本問のテーマ

2025.04.28記

[解答]
(1) $f'_n(\theta)=-\sin^{n}\theta+(n-1)(1+\cos\theta)\sin^{n-2}\theta\cos\theta$
$=\{\cos^2\theta-1+(n-1)(1+\cos\theta)\cos\theta\}\sin^{n-2}\theta$
$=(\cos\theta+1)(n\cos\theta-1)\sin^{n-2}\theta$
より増減表（略）から $f_n(\theta)$ は $\cos\theta=\dfrac{1}{n}$ のときに最大値をとる．このとき $\sin\theta=\sqrt{1-\dfrac{1}{n^2}}$ であるから
$M_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}$
となる．

(2) $(M_n)^n$ $=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^{\frac{n^2-n}{2}}$ $=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ $\left\{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right\}^{-\frac{1}{2}}$ $\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}$ $\left\{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{-n}\right\}^{\frac{1}{2}}$
$\to e\cdot e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{\frac{1}{2}}$ $＝e^{\frac{1}{2}}$ （ $n\to\infty$ ）である．

京大ということもあって少し丁寧にやったが，
$\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^{\frac{n^2-n}{2}}$ $=\left\{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^{-n^2}\right\}^{-\frac{n-1}{2n}}$ $\to e^{-\frac{1}{2}}$
でも構わない（ $\log$ とれば積の極限の公式にあてはまるので）．

[解答]
(2) $\log (M_n)^n$ $=\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n-\dfrac{n-1}{2n}\cdot \log \left(1+\dfrac{1}{-n^2}\right)^{-n^2}$ $\to \log e-\dfrac{1}{2}\cdot\log e =\dfrac{1}{2}$ （ $n\to\infty$ ）により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{(M_n)}^n=e^{\frac{1}{2}}$ である．