[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2025年(令和7年)東京科学大学(理工学系) 前期-数学[2]

2025.03.03記

[2] 空間の点 (0，0，1) を通り (1，-1，0) を方向ベクトルとする直線を \ell とし，点 (1，0，3) を通り (0，1，-2) を方向ベクトルとする直線を m とする．

(1) \mbox{P} を \ell 上の点とし， \mbox{Q} を m 上の点とする．また直線 \mbox{PQ} は直線 \ell と直線 m に垂直であるとする．このとき \mbox{P} と \mbox{Q} の座標，および線分 \mbox{PQ} の長さを求めよ．

(2) \ell 上に2点
\mbox{A}=(t，-t，1)
\mbox{B}=(2+t+\sin t，-2-t-\sin t，1)
があり， m 上に2点
\mbox{C}=(1，t，3-2t)
\mbox{D}=(1，2+t+\cos t，-1-2t-2\cos t)
があるとする．ただし， t は実数とする．四面体 \rm ABCD の体積を V(t) とする． V(0) を求めよ．

(3) t が t\geqq0 を動くとき， V(t) の最大値と最小値を求めよ．

本問のテーマ

2025.03.04記

[解答]
(1) \overrightarrow{\mbox{OP}}=(p，-p，1)，\overrightarrow{\mbox{OQ}}=(1，q，3-2q) とおくことができ，\overrightarrow{\mbox{PQ}}\bullet (1，-1，0)=0，\overrightarrow{\mbox{PQ}}\bullet (0，1，-2)=0 から
\overrightarrow{\mbox{OP}}\bullet (1，-1，0)=\overrightarrow{\mbox{OQ}}\bullet (1，-1，0)，
\overrightarrow{\mbox{OP}}\bullet (0，1，-2)=\overrightarrow{\mbox{OQ}}\bullet (0，1，-2)，
つまり
2p=1-q，-p-2=5q-6
が成立する．よって p=\dfrac{1}{9}，p=\dfrac{7}{9} となる．

以上から \mbox{P}\left(\dfrac{1}{9}，-\dfrac{1}{9}，1\right)，\mbox{Q}\left(1，\dfrac{7}{9}，\dfrac{13}{9}\right) となり，
\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\left(\dfrac{8}{9}，\dfrac{8}{9}，\dfrac{4}{9}\right) から \mbox{PQ}=\dfrac{4}{3} となる．

(2)(3) \ell と m のなす角度を \theta とすると
V(t)=\dfrac{1}{3}\cdot\triangle\mbox{PCD}\cdot(\mbox{AB}\sin\theta)=\dfrac{1}{6}\cdot\mbox{AB}\cdot\mbox{CD}\cdot\mbox{PQ}\cdot(\mbox{AB}\sin\theta)=\dfrac{1}{6}\cdot\left|\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{CD}}\right|\cdot\mbox{PQ}=\dfrac{1}{6}\cdot |2+\sin t|\cdot |2+\cos t|\cdot |(2，2，1)|\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\cdot (2+\sin t)(2+\cos t)
が成立する．

よって V=V(0)=4 である．

ここで u=\sin t+\cos t とおくと -\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2} であり，
(2+\sin t)(2+\cos t)=4+2u+\dfrac{u^2-1}{2}=\dfrac{1}{2}\{(u+2)^2+3\}
であるから
\dfrac{1}{3}\{(2-\sqrt{2})^2+3\}\leqq V(t)\leqq\dfrac{1}{3}\{(2+\sqrt{2})^2+3\}，
すなわち
\dfrac{9-4\sqrt{2}}{3}\leqq V(t)\leqq\dfrac{9+4\sqrt{2}}{3}
となる．