[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1926年(大正15年)東京帝國大學理學部物理科(一次募集)-數學[2]

2022.08.31記

[2] x=r\cos\theta，y=r\sin\theta なるときx 及び y を獨立變數とせる \dfrac{\partial\theta}{\partial x} と r 及び \theta を獨立變數とせる \dfrac{\partial x}{\partial\theta} との間に如何なる關係あるか．

2024.12.19記

[解答]
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}
の逆行列は
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial x} & \dfrac{\partial r}{\partial y} \\ \dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial \theta}{\partial y} \end{pmatrix}=\dfrac{1}{r} \begin{pmatrix} r\cos\theta & r\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
であるから，
\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta，\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=-\dfrac{\sin\theta}{r}
となり，
\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=r^2\dfrac{\partial \theta}{\partial x}
となる．

[別解]
\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta である．
\theta = \mbox{Arctan}\,\dfrac{y}{x} により
\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=-\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\cdot \dfrac{y}{x^2}=-\dfrac{y}{r^2}=-\dfrac{\sin\theta}{r}
であるから，
\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=r^2\dfrac{\partial \theta}{\partial x}
となる．