1926年(大正15年)東京帝國大學理學部物理科(一次募集)-數學[3]

2022.08.31記

[3] 橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a\gt b$ ）ガ $y$ 軸ヲ軸トシテ一廻轉シテ生ズル曲面ノ全面積ヲ索メ，然ル後離心率 $e$ ヲ微小ナリトシ其ノ三乘羃以上ヲ省略シタル式ヲ作レ．

2024.12.20記
離心率 $e$ は $a$ と $b$ から計算されるので，この3つは独立変数ではない．
よって表面積を $a，b，e$ の3つで表したとしても（問題文からして $a，b$ で表すべきだろう）， $e$ が微小のときの表現を計算するとき，この従属性質を考慮しないと間違う可能性がある．そこで $b$ を消去して $a，e$ の式として表面積を表現して近似式を表した後に， $a，b$ の式として表すことにする．

[解答]
$x=f(y)=a\sqrt{1-\dfrac{y^2}{b^2}}$ として，求める表面積 $S$ は $S=2\displaystyle\int_0^b 2\pi f(y)\sqrt{1+f'(y)^2} dy$ である．
ここで
$f(y)^2=a^2-\dfrac{a^2y^2}{b^2}$
により
$2f(y)f'(y)=-2\dfrac{a^2y}{b^2}$
だから
$f(y)^2(1+f'(y)^2)$ $=a^2-\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{a^4y^2}{b^4}$ $=a^2\left(1-\dfrac{b^2-a^2}{b^4}y^2\right)$
となり，楕円の離心率
$e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$
を用いて
$f(y)^2(1+f'(y)^2)$ $=a^2\left(1+\dfrac{a^2e^2}{b^4}y^2\right)$
となる．よって
$S=2\displaystyle\int_0^b 2\pi a\sqrt{1+\dfrac{a^2e^2}{b^4}y^2}\, dy$ $=4\pi a\displaystyle\int_0^b \sqrt{1+\dfrac{a^2e^2}{b^4}y^2}\, dy$
となる．ここで $u=\dfrac{ae}{b^2}y$ と置換し， $k=\dfrac{ae}{b}$ とおくと
$S=4\pi \dfrac{b^2}{e} \displaystyle\int_0^k \sqrt{1+u^2}\, du$ $=2\pi \dfrac{b^2}{e} \left\{ k\sqrt{k^2+1}+\mbox{Artanh}\,\dfrac{k}{\sqrt{k^2+1}}\right\}$ $=2\pi \left(a^2+\dfrac{b^2\mbox{Artanh}\,e}{e} \right)$ $=2\pi \left(a^2+\dfrac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\mbox{Artanh}\,\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \right)$
となる．

ここで $\mbox{Artanh}\,x\approx x+\dfrac{x^3}{3}$ であるから， $b^2=a^2(1-e^2)$ に注意して
$S\approx 2\pi \left(a^2+\dfrac{b^2\mbox{Artanh}\,e}{e} \right)$ $=2\pi\left(a^2+\dfrac{a^2(1-e^2)(e+e^3/3)}{e}\right)$ $\approx 2\pi a^2 \left(2-\dfrac{2e^2}{3}\right)$ $=\dfrac{4\pi(2a^2+b^2)}{3}$
となる．

$S=4\pi \dfrac{b^2}{e} \displaystyle\int_0^k \sqrt{1+u^2}\, du$ $=2\pi \dfrac{b^2}{e} \left\{ k\sqrt{k^2+1}+\log (k+\sqrt{k^2+1})\right\}$
と計算して，
$k=\dfrac{ae}{b}$ ， $\sqrt{1+k^2}=\dfrac{a}{b}$
により
$S=2\pi \dfrac{b^2}{e} \left\{ \dfrac{a^2e}{bb}+\log \dfrac{a(1+e)}{b}\right\}$
$=2\pi \left\{ a^2+\dfrac{b^2}{e} \log \dfrac{a(1+e)}{b}\right\}$
と計算して
$=2\pi \left\{ a^2+\dfrac{b^2}{e} \left(\log a+\log (1+e) - \dfrac{1}{2}\log b^2\right)\right\}$
$=2\pi \left\{ a^2+\dfrac{b^2}{e} \left(\log a+\log (1+e) - \dfrac{1}{2}\log a^2(1-e^2)\right)\right\}$
$=2\pi \left\{ a^2+\dfrac{b^2}{e} \left(\log (1+e) - \dfrac{1}{2}\log (1-e^2)\right)\right\}$
$=2\pi \left\{ a^2+\dfrac{b^2}{e}\cdot \dfrac{1}{2}\log \dfrac{1+e}{1-e}\right\}$
$=2\pi \left\{ a^2+\dfrac{b^2}{e}\cdot \mbox{Artanh}\, e\right\}$
と変形しても良い．

$\mbox{Artanh}\,x$ のマクローリン展開については，
$(\mbox{Artanh}\,x)'=\dfrac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\cdots$
を項別積分して
$\mbox{Artanh}\,x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots$
となる．

なお，
www.youtube.com

では $S\approx 4\pi ab \left( 1+\dfrac{e^2}{6} \right)$ としているが，これは $a，b$ について対称な形をしているという美意識で纏められたのだろうが，私の美意識には合わない．これを $a，b$ で表すと
$S\approx \pi 4ab \left( 1+\dfrac{a^2-b^2}{6a^2} \right)$ $=\dfrac{2(7a^2-b^2)b}{3a} \pi$
となるからである．
$\dfrac{4\pi(2a^2+b^2)}{3}$
と比べてみて欲しい．なお，これらの差は
$b=a\sqrt{1-e^2}\approx a\left(1-\dfrac{e^2}{2}\right)$
であるから，
$4\pi ab \left( 1+\dfrac{e^2}{6} \right)$
$\approx 4\pi a^2 \left(1-\dfrac{e^2}{2}\right)\left( 1+\dfrac{e^2}{6} \right)$
$\approx 4\pi a^2 \left(1-\dfrac{e^2}{3}\right)$
となり， $e^2$ のオーダーで一致している(ので，どちらも正解)．