1949年(昭和24年)京都大学(新制)-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.11.22記

【共通】

[1](i) 次の事項のうち正しいものには「正しい」と，誤れるもにはこれを正して右側の空欄に記せ．但し假説はすべて成り立つものとする．

$0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin x\gt \tan x$
$0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $0\lt y\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $x\lt y$ のとき $\cos x\gt \cos y$
$\cos x-\cos y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$
$a，b$ を正数とするとき $\log a+\log b=\log(a+b)$
$a，b$ を何れも $1$ と異る正数とするとき $\log_a b\cdot \log_b a=1$

(ii) 次表の数を小さいものから順に取り，各数の下にその順位番号を記せ．但し $\log$ は常用対数を示す．

	$\dfrac{\pi}{7}$	$\sin 35^{\circ}$	$\sqrt{3}$	$\tan 50^{\circ}$	$\log \sqrt[5]{97}$
順位

[2] 次の一次方程式で表わされる五直線の囲む凸五角形の頂点のうち，第一象限内にあるもの及び第三象限内にあるものの座標を求めよ．
$25x+8y+40=0\quad (1)$
$5x-4y-14=0\quad (2)$
$x-2y+4=0\quad (3)$
$14x+45y+63=0\quad (4)$
$5x+2y-10=0\quad (5)$

【解析Ｉ】

[3] 方程式 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{3x-1}$ を解け．

[4] $x$ のすべての正数値に対して
$f(x)=(3-p)x^2-6x+p+4\gt 0$
なるために実数 $p$ の取るべき値の範囲を求める問題に，或る人Aは次に掲げる解法を示した． $f(x)$ の代りに
$g(x)=(3-p)x^2+6x+p+4$
を取り，同様の問題を解きAの解法と比較して次の問に答えよ．

(i) Aの論証の不十分な点を挙げ，これを補つて完全にせよ．

(ii) $g(x)$ の場合の $p$ の取るべき値の範囲はどうであるか．

（Aの解） $f(x)$ を変形して
$f(x)=(3-p)\left\{\left(x-\dfrac{3}{3-p}\right)^2-\dfrac{p^2+p-3}{(3-p)^2}\right\}$

先ず $x$ が十分大きな値を取れば上式の括弧内は正となるから $3-p\gt 0$ を要する．即ち $p\gt 3\quad (1)$

次に括弧内が正なるためには，その最小値（ $x=\dfrac{3}{3-p}$ のときの値）も正でなければならぬ．従つて $p^2+p-3\lt 0$

即ち $-\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{13})\lt p\lt\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{13})\quad (2)$

然るに $(-1+\sqrt{13})/2\lt 3$ なる故，求める $p$ の範囲は不等式 $(2)$ で與えられる．

【解析ＩＩ】

[3] 底辺を除く他の三辺の長さが何れも $a$ なる梯形のうち，面積最大なものを求めよ．

[4] 海面上に浮ぶ小舟を岸壁の頂上からロープで引き寄せる．小舟の速さを $v$ ，ロープの引かれる速さを $u$ ，ロープの海面とのなす角を $\theta$ とすれば， $u$ の水平方向の成分が $v$ であるから $v=u\cos\theta$ であると論ずれば誤である． $u$ と $v$ との但しい関係はどうであるか，また上述の論法でどこが誤つているかを分り易く説明せよ．

【幾何】

[3] 重心，外心，内心の何れか二つが相重（あいかさ）なるような三角形はどんな三角形であるか．理由を附して説明せよ．

[4] 次の問(i)に於ては空白の箇所を適当に補つて定理を結論し，(ii)に於ては推論の誤れる箇所を指摘してそのわけを(i)の定理を用いて明かにせよ．

(i) 三角形 $\mbox{ABC}$ の外接円の弧 $\mbox{BC}$ 上の一点 $\mbox{P}$ から三辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ に下した垂線の足を夫々 $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ とする． $\angle\mbox{PDC}$ ， $\angle\mbox{PEC}$ は何れも直角であるから，四点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{C}$ は同一円周上にあり，従つて $\angle\mbox{CDE}=\angle\mbox{EPC}$

同様に四点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{F}$ は同一円周上にあり，従つて
$\angle\mbox{BDF}=\angle\mbox{FPB}$

然るに四点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{C}$ は同一円周上にあるから $\angle\mbox{BPC}$ は $\angle\mbox{BAC}$ の補角である．また $\angle\mbox{PEA}$ ， $\angle\mbox{PFA}$ は何れも直角であるから $\angle\mbox{FPE}$ は $\angle\mbox{BAC}$ の補角である．

∴ $\fbox{$\angle\phantom{BBB}=\angle\phantom{BBB}$}$
∴ $\fbox{$\angle\phantom{BBB}=\angle\phantom{BBB}$}$

依つて弧 $\mbox{BC}$ 上の一点 $\mbox{P}$ から三角形 $\mbox{ABC}$ の
$\fbox{$\phantom{BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB}$}$

(ii) 任意の三角形 $\mbox{ABC}$ に於て $\angle\mbox{BAC}$ の二等分線が三角形 $\mbox{ABC}$ の外接円と交わる点を $\mbox{P}$ とし， $\mbox{P}$ から $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ に下した垂線の足を夫々 $\mbox{F}$ ， $\mbox{E}$ とすれば