1968年(昭和43年)京都大学-数学(文系) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2026.04.10.18:54:55記

[1] つぎの $5$ つの命題のうち，正しいものには□の中に○印をつけて，証明せよ．
また，正しくないものには□の中に×印をつけて，理由を示せ．

□ (1) 2実数 $a$ ， $b$ について， $a=b$ ならば， $a \leqq b$ である．

□ (2) どの $3$ 点も1直線上にはない $4$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ について， $\overrightarrow{\mbox{AB}}+\overrightarrow{\mbox{CD}}=0$ （零ベクトル）はけっして成立しない．

□ (3) $3$ つの集合 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ について， $\mbox{A} \subset \mbox{B}$ ， $\mbox{B} \subset \mbox{C}$ ， $\mbox{C} \subset \mbox{A}$ という関係があれば， $\mbox{A}=\mbox{B}=\mbox{C}$ である．

□ (4) $n\gt 4$ である自然数 $n$ について， $n^2\lt 2^n$ が成立する．

□ (5) 自然数の逆数全体の集合 $\displaystyle \left\{1，\dfrac{1}{2}，\cdots\cdots，\dfrac{1}{n}，\cdots\cdots \right\}$ において，最小数は $0$ である．

[2] 各辺の長さが $20\mbox{m}$ ， $22\mbox{m}$ ， $24\mbox{m}$ ， $26\mbox{m}$ ， $28\mbox{m}$ ， $30\mbox{m}$ ， $32\mbox{m}$ ， $34\mbox{m}$ ， $36\mbox{m}$ のいずれかである $3$ 角形は，いく種類あるか．ただし，合同な $3$ 角形は同じ種類と考える．

[3] $m \leqq l$ である $2$ 数 $l$ ， $m$ に対して，不等式 $m \leqq x \leqq l$ を満たすすべての数 $x$ の集合 $S$ が，

条件： $x$ が $S$ に属しているときには， $x^2$ もまた $S$ に属している

を満たすとする．このとき，

(1) $0 \leqq l \leqq 1$ であることを示せ．

(2) $m=1$ ，または $m \leqq 0$ であることを示せ．

(3) $m=1$ であるとき， $S$ はどのような集合か．

(4) $m \neq 1$ であるとき，与えられた数 $l$ $(0 \leqq l \leqq 1)$ に対して， $m$ のとりうる値の範囲を定めよ．

[4] (1) 平面 $p$ 上にない $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ が， $p$ に関して反対側にある． $p$ が $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ から等距離にあるとき， $p$ は線分 $\mbox{AB}$ の中点を通ることを示せ．

(2) 同じ平面上にない点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ がある．これら $4$ 点から等距離にある平面は，いくつあるか．

[5] $x$ の関数(函数) $f(x)=2x^3+3x^2+2x-2$ を考える．

(1) $f(i-1)=0$ $(i\mbox{は虚数単位})$ となることを用いて， $3$ 次方程式 $f(x)=0$ の根を求めよ．

(2) 複素平面上で， $2$ 次方程式 $f'(x)=0$ の $2$ 根は， $f(x)=0$ の $3$ 根を頂点とする $3$ 角形の内部にあることを示せ．ただし， $f'(x)$ は $f(x)$ の導関数を表わす．

[6] $x$ の関数 $y=x^3$ と， $y=ax^2+bx+c$ $(a\lt 0)$ のグラフが，点 $(1，1)$ で接し，さらに，これら $2$ つのグラフと $y$ 軸とで囲まれた $x\geqq0$ の部分の面積が $1$ である．このとき， $a$ ， $b$ ， $c$ の値を求めよ．

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