1974年(昭和49年)京都大学-数学(文系) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2026.04.20.16:27:31記

[1] 二次関数 $y=ax^2+bx+c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ は実数， $a\neq0$ ）のグラフが三点 $(1，3)$ ， $(2，6)$ ， $(-1，9)$ を通るという．この関数 $y$ の値が最小になるのは， $x$ がどの値のときか．

[2] $\triangle\mbox{ABC}$ において，辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{BC}$ の長さがそれぞれ $2\,\mbox{cm}$ ， $5\,\mbox{cm}$ であって， $\triangle\mbox{ABC}$ の面積は $4\,\mbox{cm}^2$ である．
$\angle \mbox{ABC}=\theta$ とおくとき， $|\cos\theta|$ を求めよ．

[3] $(x^3+\sqrt{2}x^2+\sqrt[3] {3}x+1)^{100}$ を展開したときの， $x^{296}$ の係数を求めよ．

[4] $F(x)$ ， $g(x)$ が $x$ の多項式で，次の三条件をみたすものとする． $F(x)$ および $g(x)$ を求めよ．

(イ) $\dfrac{dF(x)}{dx}=g(x)$ ．

(ロ) $F(x)$ は $g(x)$ で割りきれる．

(ハ) $g(x)$ は $n$ 次式で， $x^n$ の係数は $1$ ， $x^{n-1}$ の係数は $0$ である．

[5] 正の定数 $a$ ， $b$ に対し，不等式 $\displaystyle 4m\lt n^2\lt 4m+\dfrac{a}{\sqrt{m}}+\dfrac{b}{m}$ を考え，次の問いに答えよ．

(イ) $m\gt 0$ ，かつ $m$ ， $n$ ともに整数であって，この不等式をみたすような $m$ ， $n$ の組は有限個しか存在しないことを証明せよ．

(ロ) $a=8$ ， $b=9$ ， $m\geqq9$ であるときは，上の不等式をみたす整数 $m$ ， $n$ の組は $n^2=4m+1$ をみたすことを証明せよ．

(ハ) (ロ)の場合の $m$ ， $n$ の組のうち， $n$ が最も大きいものを求めよ．

[6] (i) $\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ が与えられている．辺 $\mbox{P}_0\mbox{O}$ 上に点 $\mbox{P}_2$ ， $\mbox{P}_4$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n}$ ， $\cdots$ を，また辺 $\mbox{P}_1\mbox{O}$ 上に点 $\mbox{P}_3$ ， $\mbox{P}_5$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n+1}$ ， $\cdots$ を適当にとって，次の三条件(イ)〜(ハ)がみたされるようにしうるための， $\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ についての条件を求めよ．

(イ) $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\mbox{P}_4$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n}$ ， $\cdots$ はこの順に線分 $\mbox{P}_0\mbox{O}$ 上にならび，しかも $n$ が大きくなるに従って， $\mbox{O}$ に近づく．

(ロ) $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_3$ ， $\mbox{P}_5$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n+1}$ ， $\cdots$ はこの順に線分 $\mbox{P}_1\mbox{O}$ にならんでいる．

(ハ) $\triangle\mbox{P}_{n-1}\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}$ ∽ $\triangle\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}\mbox{P}_{n+2}$ が， $n$ のどの自然数値に対しても成立する．（ここでいう相似は，左辺の三角形の $\mbox{P}_{n-1}$ ， $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{P}_{n+1}$ が右辺の三角形の $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{P}_{n+1}$ ， $\mbox{P}_{n+2}$ に順次対応した相似を意味する．）