2017年(平成29年)京都大学-数学(文系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.05.06記

[3] 座標空間において原点 $\mbox{O}$ と点 $\mbox{A}(0，-1，1)$ を通る直線を $l$ とし，点 $\mbox{B}(0，2，1)$ と点 $\mbox{C}(-2，2，-3)$ を通る直線を $m$ とする． $l$ 上の2点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ と， $m$ 上の点 $\mbox{R}$ を $\triangle\mbox{PQR}$ が正三角形となるようにとる．このとき， $\triangle\mbox{PQR}$ の面積が最小となるような $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ の座標を求めよ．

2025.05.09記

[解答]
$\mbox{PQ}$ の中点を $\mbox{M}$ とすると $\triangle\mbox{PQR}$ の面積は $\dfrac{\mbox{RM}^2}{\sqrt{3}}$ であるから， $l$ 上の点 $\mbox{M}(0，-s，s)$ と $m$ 上の点 $\mbox{R}(t，2，2t+1)$ の距離が最小となるときに $\triangle\mbox{PQR}$ の面積も最小となる．

$\mbox{RM}^2$ $=t^2+(2+s)^2+(2t+1-s)^2$ $=2s^2+2(1-2t)s+5t^2+4t+5$ $=2\left(s+\dfrac{1-2t}{2}\right)+3(t+1)^2+\dfrac{3}{2}$

は $t=-1$ ， $s=-\dfrac{3}{2}$ のときに最小値 $\dfrac{3}{2}$ をとる．このとき
$\mbox{M}\left(0，\dfrac{3}{2}，-\dfrac{3}{2}\right)$ ， $\mbox{R}(-1，2，-1)$
であり， $\mbox{RM}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ から $\mbox{PM}$ $=\mbox{QM}$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となり，
$\mbox{P}，\mbox{Q}$ の座標は
$\left(0，\dfrac{3}{2}\mp\dfrac{1}{2}，-\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}\right)$ $=(0，1，-1)$ ， $(0，2，-2)$
となる．

よって
$\mbox{P}(0，1，-1)$ ， $\mbox{Q}(0，2，-2)$ ， $\mbox{R}(-1，2，-1)$
または
$\mbox{P}(0，2，-2)$ ， $\mbox{Q}(0，1，-1)$ ， $\mbox{R}(-1，2，-1)$
となる．