2022年(令和4年)早稲田大学理工学部-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.04.10記

[2] $p，q$ を相異なる素数とする．次の $3$ 条件をみたす $x$ の $2$ 次式を考える．

・係数はすべて整数で $x^2$ の係数は $1$ である．

・ $f(1)=pq$ である．

・方程式 $f(x)=0$ は整数解をもつ．

以下の問に答えよ．

(1) $f(x)$ をすべて求めよ．

(2) (1)で求めたものを $f_1(x)$ ， $f_2(x)$ ，…， $f_m(x)$ とする． $2m$ 次方程式 $f_1(x)\times f_2(x)\times\cdots\times f_m(x)=0$ の相異なる解の総和は $p$ ， $q$ によらないことを示せ．

2025.04.11記
$p，q$ が相異なる素数であることと $f(1)=pq$ であることから， $XY=pq$ の形に持ち込み $(X，Y)=(\pm 1，\pm pq)$ ， $(\pm p，\pm q)$ ， $(\pm q，\pm p)$ ， $(\pm pq，\pm 1)$ となることを利用する．

[解答]
(1) $f(x)=0$ が持つ整数解を $\alpha$ とすると $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解することができる．ここで $\alpha+\beta$ は $f(x)$ の $x$ の係数の $-1$ 倍であり，それは整数であるから $\beta$ も整数となる．

いま $f(1)=(1-\alpha)(1-\beta)=pq$ であり， $1-\alpha=A$ ， $1-\alpha=B$ とおくと， $A，B$ は整数で $f(x)=(x+A-1)(x+B-1)$ ， $AB=pq$ が成立する．

ここで $p，q$ は相異なる素数であるから
$\{A，B\}=\{\pm 1，\pm pq\}=\{\pm p，\pm q\}$ （複号同順）
となり，よって
$f(x)=(x\pm 1-1)(x\pm pq-1)$ ， $f(x)=(x\pm p-1)(x\pm q-1)$ （複号同順）
となる．整理して

$f(x)=x(x+pq-1)$ ， $(x-2)(x-pq-1)$ ， $f(x)=(x+p-1)(x+q-1)$ ， $(x-p-1)(x-q-1)$

の4つである．

(2) (1)より $m=4$ であり，考えるべき $8$ 次方程式の解は(1)より $\pm pq+1，\pm p+1，\pm q+1，\pm 1+1$ の $8$ つである．ここで $p，q$ は相異なる素数であるから，これら $8$ つは全て異なるので．これら $8$ つの総和を計算すると $8$ となり，これは $p，q$ によらない．