2016年(平成28年)京都大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.04.25記

[5] $xy$ 平面上の $6$ 個の点 $(0，0)$ ， $(0，1)$ ， $(1，0)$ ， $(1，1)$ ， $(2，0)$ ， $(2，1)$ が図のように長さ $1$ の線分で結ばれている．動点 $\mbox{X}$ は，これらの点の上を次の規則に従って $1$ 秒ごとに移動する．

規則：動点 $\mbox{X}$ は，そのときに位置する点から出る長さ $1$ の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．

例えば， $\mbox{X}$ が $(2，0)$ にいるときは， $(1，0)$ ， $(2，1)$ のいずれかに $\dfrac{1}{2}$ の確率で移動する．また $\mbox{X}$ が $(1，1)$ にいるときは， $(0，1)$ ， $(1，0)$ ， $(2，1)$ のいずれかに $\dfrac{1}{3}$ の確率で移動する．

時刻 $0$ で動点 $\mbox{X}$ が $\mbox{O}=(0，0)$ から出発するとき， $n$ 秒後に $\mbox{X}$ の $x$ 座標が $0$ である確率を求めよ．ただし $n$ は $0$ 以上の整数とする．

本問のテーマ

マルコフ過程

2025.04.29記

[解答]
時刻 $n$ における $x$ 座標が $0$ ， $1$ ， $2$ である確率をそれぞれ $a_n$ ， $b_n$ ， $c_n$ とおくと
$a_0=1$ ， $b_0=c_0=0$ ，
$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{3}b_n$ ，
$b_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{3}b_n+\dfrac{1}{2}c_n$ ，
$c_{n+1}=\dfrac{1}{3}b_n+\dfrac{1}{2}c_n$
が成立する． $a_n+b_n+c_n=1$ より $b_{n+1}=-\dfrac{1}{6}b_n+\dfrac{1}{2}$ となり $b_0=0$ から
$b_n=\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
となる．また
$a_{n+1}-c_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n-c_n)=\dfrac{1}{2^{n+1}}(a_0-c_0)=\dfrac{1}{2^{n+1}}$
から $a_{n}-c_{n}=\dfrac{1}{2^{n}}$ となるので
$a_n=\dfrac{1}{2}(a_n-c_n+a_n+c_n)$ $=\dfrac{1}{2}(a_n-c_n+1-b_n)$ $=\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{2^n}+1-\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right\}$
$=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{2^{n+1}}+\dfrac{3}{14}\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
となる．

$b_n$ の一般項から $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$ が得られ，これを解いても良い．

[大人の解答]
（途中から）
$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{3}b_n$ ， $b_n=\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$ から
$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
が成立する．この漸化式の一般項は
$a_n=A+B\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+C\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
と書け， $a_0=0$ ， $a_1=\dfrac{1}{2}$ ， $a_2=\dfrac{5}{12}$ から $A+B+C=1$ ， $6A+3B-C=3$ ， $36A+9B+C=15$ を解いて $A=\dfrac{2}{7}$ ， $B=\dfrac{1}{2}$ ， $C=\dfrac{3}{14}$ となるので
$a_n=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{3}{14}\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
となる．

普通，[大人の解法] というならマルコフ推移行列の羃乗を利用する方法になるだろう．

[大人の解答]
$A=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/3 & 0 \\ 1/2 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 1/3 & 1/2 \end{pmatrix}$ とおくと $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n} \end{pmatrix}$ が成立するので $\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n} \end{pmatrix}=A^{n}\begin{pmatrix} a_{0} \\ b_{0} \\ c_{0} \end{pmatrix}$ $=A^{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
が成立する．よって $A^n$ の $(1,1)$ 成分が $a_n$ となる．

$A$ の固有方程式は $\lambda^3-\dfrac{4}{3}\lambda^2+\dfrac{1}{4}\lambda+\dfrac{1}{12}$ $=(\lambda-1)\left(\lambda-\dfrac{1}{2}\right)\left(\lambda+\dfrac{1}{6}\right)=0$ となり固有値は $1，\dfrac{1}{2}，-\dfrac{1}{6}$ である．固有ベクトルを求め，それらを並べた行列の逆行列を求めることにより
$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3/2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1/6 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2/7 & 2/7 & 2/7 \\ -1/2 & 0 & 1/2 \\ 3/14 & -2/7 & 3/14 \end{pmatrix}$
と対角化できるので，
$A^n=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3/2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (1/2)^n & 0 \\ 0 & 0 & (-1/6)^n \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2/7 & 2/7 & 2/7 \\ -1/2 & 0 & 1/2 \\ 3/14 & -2/7 & 3/14 \end{pmatrix}$
となり，その $(1,1)$ 成分から
$a_n=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (1/2)^n & 0 \\ 0 & 0 & (-1/6)^n \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2/7 \\ -1/2 \\ 3/14 \end{pmatrix}$
$=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{3}{14}\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
となる．

ちなみに $n$ 秒後に $\mbox{X}$ の $y$ 座標が $0$ である確率は次のようになる．

時刻が奇数のときは $(0，1)$ ， $(1，0)$ ， $(2，1)$ （座標の和が奇数）のいずれかに，時刻が偶数のときは $(0，0)$ ， $(1，1)$ ， $(2，0)$ （座標の和が偶数）のいずれかにいる．

求める確率を $p_n$ とすると
$p_{2m+1}=\dfrac{1}{2}p_{2m}+\dfrac{1}{3}(1-p_{2m})=\dfrac{1}{6}p_{2m}+\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{1}{6}p_{2m}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{12}$ ，
$p_{2m+2}=\dfrac{2}{3}p_{2m+1}+\dfrac{1}{2}(1-p_{2m+1})=\dfrac{1}{6}p_{2m+1}+\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{6}p_{2m+1}+\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{12}$
が成立するので結局
$p_{n+1}=\dfrac{1}{6}p_{n}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{12}(-1)^n$
が成立する． $q_n=6^n p_n$ とおくと
$q_{n+1}=q_{n}+\dfrac{5}{2}\cdot 6^n -\dfrac{1}{2}\cdot (-6)^n$ ， $q_0=1$
だから
$q_n=1+\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{6^n-1}{5}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(-6)^n-1}{-7}$ $=\dfrac{6^n}{2}+\dfrac{(-6)^n}{14}+\dfrac{3}{7}$
となり，
$p_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{(-1)^n}{14}+\dfrac{3}{7\cdot 6^n}$
となる．