[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2019年(平成31年)京都大学-数学(理系)[2]

2025.04.20記

[2] $f(x)=x^3+2x^2+2$ とする． $|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ がともに素数となる整数 $n$ をすべて求めよ．

本問のテーマ

モニック多項式の因数は定数項の約数

2025.04.29記
$g(x)=x^3+2x^2+4$ について $g(\pm 1)\neq 0$ ， $g(\pm 2)\neq 0$ ， $g(\pm 4)\neq 0$ であるから $g(x)=0$ は整数解を持たない．

[解答]
$x$ が偶数のとき $f(x)$ は偶数であるから $|f(n)|$ か $|f(n+1)|$ のいずれかは $2$ である．

$f(x)=2$ となるのは $f(x)-2=x^2(x+2)$ より $x=0，-2$ である．

$f(x)=-2$ となるのは $f(x)-2=x^3+2x^2+4=0$ となるときであるが $x$ が奇数のときは $f(x)-2$ は奇数であり， $x$ が偶数のときは $f(x)-2$ を8で割った余りが4となるので $f(x)=-2$ は整数解を持たない．

$|f(-3)|=7$ ， $|f(-2)|=2$ ， $|f(-1)|=3$ ， $|f(0)|=2$ ， $|f(1)|=5$ は全て素数であるから， $n=-3，-2，-1，0$ である．