[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1932-02-13

1932年(昭和7年)京都帝國大學醫學部-數學[3]

2025.01.22記

[3] Parameter( $\theta$ )ヲ用ヰイテ表ハサレタル曲線
$\left\{ \begin{array}{l} x=a(\theta-\sin\theta) \\ y=a(1-\cos\theta) \end{array}\right.$ （但シ $a$ ハ常數）
ノ形ヲ求メ，且ツ其一個ノ弓形ト $x$ 軸トノ間ニ圍マレタル面積ヲ求メヨ．但シ $x$ ， $y$ 兩軸ハ直交ス．

本問のテーマ

サイクロイドが囲む面積
Wallis 積分

2025.02.05記

[解答]
$2\displaystyle\int_0^{\pi} y\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta$ $=2a^2\displaystyle\int_0^{\pi} (1-\cos\theta)^2\,d\theta$ $=8a^2\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^4\dfrac{\theta}{2}\,d\theta$ $=32a^2\cdot\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^4 \varphi\,d\varphi$ （ $2\varphi=\theta$ ）
$=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ $=3a^2\pi$
である．