[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1975-02-05

1975年(昭和50年)京都大学-数学(理系)[4]

2026.04.20.17:56:25記

[4] 平面上で， $3$ つの定点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ と定円の周上を動く点 $\mbox{P}$ がある．ベクトル $\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}$ の大きさが最大になるのは点 $\mbox{P}$ がどんな位置にあるときか．

2026.04.21.13:10:48記
今となっては基本問題です．

[解答]
$\triangle\mbox{ABC}$ の重心を $\mbox{G}$ とおくと
$\left|\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}\right|$ $=3|\overrightarrow{\mbox{PG}}|$
である．よって

(i) $\mbox{G}$ が定円の中心と一致するとき：
定円の任意の位置で最大となる．

(ii) $\mbox{G}$ が定円の中心と一致しないとき：
$\mbox{G}$ と定円の中心を結ぶ直線と定円の $2$ 交点のうち $\mbox{G}$ から遠い方で最大となる．